Duas manchas solares aparecem na superfície do sol a uma distância de 90 km entre elas. Qual deve ser o diâmetro do espelho de um telescópio situado na terra para resolver essas duas manchas segundo o critério de Rayleigh? Considere \lambda=550 \mathrm{~nm} e a distância Terra-Sol de 8 minutos-luz.

Passo 1

Resumindo o enunciado: na superfície do Sol há duas manchas solares separadas por 90 km, e queremos que um telescópio na Terra as resolva segundo o critério de Rayleigh. O conteúdo da matéria é resolução angular em óptica, e vamos usar (i) a definição de separação angular para objetos distantes e (ii) o critério de Rayleigh \theta_{\min}=1,22\,\lambda/D.

Passo 2

Primeiro convertemos a distância Terra–Sol em metros. Um minuto-luz vale
c \times 60\,\mathrm{s} = (3{,}0\times10^{8}\,\mathrm{m/s})\times60\,\mathrm{s} = 1{,}8\times10^{10}\,\mathrm{m}.
Como a distância é de 8 minutos-luz,
d = 8\times1{,}8\times10^{10}\,\mathrm{m} = 1{,}44\times10^{11}\,\mathrm{m}.

Passo 3

Para objetos muito distantes, a separação angular \theta (em radianos) é aproximada por
\theta \approx \frac{s}{d},
onde s=90\,\mathrm{km}=9{,}0\times10^{4}\,\mathrm{m}. Logo,
\theta = \frac{9{,}0\times10^{4}}{1{,}44\times10^{11}} \approx6{,}25\times10^{-7}\,\mathrm{rad}.

Passo 4

O critério de Rayleigh para um espelho circular diz que o menor ângulo resolvível é
\theta_{\min} = 1,22\,\frac{\lambda}{D},
onde \lambda=550\,\mathrm{nm}=5{,}5\times10^{-7}\,\mathrm{m} e D é o diâmetro do espelho.

Passo 5

Para resolver as duas manchas basta ter \theta_{\min}\le\theta. Igualando,
\theta = 1,22\,\frac{\lambda}{D} \quad\Longrightarrow\quad D = 1,22\,\frac{\lambda}{\theta}.

Passo 6

Substituindo os valores:
D = 1,22\,\frac{5{,}5\times10^{-7}}{6{,}25\times10^{-7}} = 1,22\times0{,}88 \approx 1{,}07\,\mathrm{m}.

Passo 7

Arredondando para um valor prático, o espelho deve ter diâmetro de aproximadamente 1{,}1 m.

Resposta

O diâmetro do espelho deve ser cerca de 1{,}1 m.

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