Duas ondas têm comprimentos de onda e frequências ligeiramente diferentes, respectivamente v e v+\Delta v, \lambda e \lambda+\Delta \lambda. Mostre que as razões |\Delta v / v| e |\Delta \lambda / \lambda| são aproximadamente iguais. Considere que as ondas propagam-se no vácuo.
NOTA: Nos problemas abaixo, considere o índice de refração do ar . A velocidade da luz no espaço livre e a permissividade .
Passo 1
Beleza, aqui a parada é a seguinte: temos duas ondas no vácuo com frequências e e comprimentos de onda e . A gente precisa mostrar que as variações relativas dessas grandezas são praticamente as mesmas, ou seja,
O conteúdo envolvido é a relação fundamental de ondas no vácuo, que é
com a velocidade da luz no vácuo. Para resolver, vamos usar cálculo elementar (diferenças pequenas e derivadas) e a regra do produto.
Passo 2
Lembra que, no vácuo, a luz obedece sempre
c0 = lambda,v,
onde é constante (). Isso significa que, mesmo se ou mudarem um pouquinho, o produto fica fixo em .
Passo 3
Como o produto De não muda (é constante), a diferença total tem que ser zero:
De
Pela regra do produto,
v,De
Ou seja,
Passo 4
Agora a gente divide os dois lados por v,De:
gl|De
Como estamos falando de variações pequenas ( e são “pequenos”), podemos trocar derivadas por deltas sem medo. E, quando a gente pega valor absoluto, o sinal “–” some: