Mostre que: \mathbf{E}=\mathfrak{R} e\left{E_{0}[\hat{x}+\hat{y} b \exp (i \phi)] \exp i(k z-\omega t)\right}=
=E_{0}[\hat{x} \cos (k z-\omega t)+\hat{y} b \cos (k z-\omega t+\phi)]. Considere E_{0} e b reais.
NOTA: Nos problemas abaixo, considere o índice de refração do ar . A velocidade da luz no espaço livre e a permissividade .

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem um campo elétrico escrito em forma complexa
E = R!l,E0[hat x + hat y,b,e^iphi];e^i(kz - omega t)r
e quer mostrar que isso vira
E0l[hat xcos(kz-omega t);+;hat y,b,cos(kz-omega t+phi)r]
Conteúdo: número complexos, operador parte real e fórmula de Euler. Vamos precisar da identidade
e^itheta = costheta + isintheta
e da linearidade de Re{}.

Passo 2

Escreve o campo separando componentes:
E = Rel,E0,hat x,e^i(kz-omega t)r ;+;Rel,E0,hat y,b,e^iphi,e^i(kz-omega t)r
Ou seja, trata a parte em e a parte em separadamente.

Passo 3

Aplica Euler em cada termo:
  1. Para e^i(kz-omega t) = cos(kz-omega t) + isin(kz-omega t), : ReE0,e^i(kz-omega t) = E0,cos(kz-omega t) então e^iphi,e^i(kz-omega t) = e^il((kz-omega t)+phir) = cosl(kz-omega t+phir) + isinl(kz-omega t+phir)
  2. Para ReE0,b,e^i((kz-omega t)+phi) = E0,b,cosl(kz-omega t+phir) : junte os argumentos daí

Passo 4

Agora junta as duas componentes:
E = E0,hat x,cos(kz-omega t) ;+;E0,hat y,b,cosl(kz-omega t+phir)

Resposta

boxed E = E0l[hat xcos(kz-omega t)+hat y,b,cos(kz-omega t+phi)r]

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