Uma plataforma construída a partir de duas placas de aço fixadas a um elastômero de cloroprene (uma borracha artificial) é submetida a um ensaio em laboratório para avaliação do módulo de elasticidade transversal e longitudinal do cloroprene. Para sua avaliação, aplica-se uma força cortante de 500 N na placa superior. Para essa força, observou-se que a placa superior deslocou-se 1 / 56 \mathrm{~mm} na mesma direção e sentido da força aplicada. Admitindo que o coeficiente de Poisson do cloroprene seja 0,4 , determine o valor dos módulos de elasticidade longitudinal e transversal do material. [Resposta: \mathbf{G}= 80 \mathrm{MPa} ; \mathrm{E}=224 \mathrm{MPa} ].

Passo 1

O enunciado pede para calcular os módulos de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento) e longitudinal do cloroprene, dados os seguintes itens observados na experiência: a força cortante aplicada, o deslocamento relativo da placa superior e as dimensões da camada de cloroprene. Dados fornecidos (extraídos do enunciado e da figura):
  • Força aplicada: \,F = 500\\ \mathrm{N}.
  • Deslocamento lateral da placa superior: \,\Delta x = \dfrac{1}{56}\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura (altura) do cloroprene: \,h = 2\\ \mathrm{cm}.
  • Área de contato (dimensões da placa): \,10\\ \mathrm{cm} \times 7\\ \mathrm{cm}.
  • Coeficiente de Poisson: \,\nu = 0,4.

Passo 2

Primeiro vamos passar tudo para unidades do SI (metros, metros quadrados, pascal) para facilitar as contas. Convertendo:
  • Espessura:
h = 2\\ \mathrm{cm} = 0,02\\ \mathrm{m}.
  • Deslocamento:
\Delta x = \frac{1}{56}\\ \mathrm{mm} = \frac{1}{56}\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} \approx 1,7857\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Área da placa (contato):
A = 10\\ \mathrm{cm}\times 7\\ \mathrm{cm} = 70\\ \mathrm{cm}^2 = 0,007\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Agora lembramos as definições físicas necessárias. Para um ensaio de cisalhamento entre duas placas:
  • A tensão de cisalhamento média (shear stress) é dada por
\tau = \frac{F}{A},
onde \tau é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{Pa}), F a força (em \mathrm{N}) e A a área (em \mathrm{m}^2).
  • A deformação de cisalhamento (shear strain) média é aproximadamente
\gamma = \frac{\Delta x}{h},
onde \gamma é adimensional, \Delta x é o deslocamento lateral entre as faces e h é a espessura da camada que sofre cisalhamento.
  • O módulo de cisalhamento G relaciona essas duas quantidades por
G = \frac{\tau}{\gamma}.
Vou aplicar essas fórmulas com os números convertidos.

Passo 4

Calcular a tensão de cisalhamento média \tau:
\tau = \frac{F}{A} = \frac{500\\ \mathrm{N}}{0,007\\ \mathrm{m}^2} \approx 71428{,}57\\ \mathrm{Pa} \;=\; 71{,}4286\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Calcular a deformação de cisalhamento média \gamma:
\gamma = \frac{\Delta x}{h} = \frac{1{,}7857\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}}{0,02\\ \mathrm{m}} \approx 8{,}92857\times 10^{-4}.
(Equivalente a \gamma \approx 0{,}000892857.)

Passo 6

Calcular o módulo de cisalhamento G:
G = \frac{\tau}{\gamma} = \frac{71428{,}57\\ \mathrm{Pa}}{8{,}92857\times 10^{-4}} \approx 80\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa} = 80\\ \mathrm{MPa}.
Comentário didático: isso significa que, para o cloroprene nas condições do ensaio, uma tensão de cisalhamento de cerca de 80\\ \mathrm{MPa} produz uma deformação unitária de cisalhamento de 1 (mas aqui a deformação medida foi muito menor, \sim 9\times 10^{-4}) — vemos que o material é relativamente macio comparado a um metal, por exemplo.

Passo 7

Agora precisamos do módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young) E. Para um material isotrópico linear elástico, E, G e o coeficiente de Poisson \nu estão ligados pela relação:
E = 2\,G\,(1+\nu).
Explicação rápida: essa fórmula vem da teoria da elasticidade linear isotrópica e relaciona as respostas ao alongamento (E) e ao cisalhamento (G), com \nu medindo o quanto o material transversamente se deforma quando esticado axialmente.

Passo 8

Aplicando a fórmula com \,G=80\\ \mathrm{MPa} e \nu=0,4:
E = 2\cdot 80\\ \mathrm{MPa}\cdot(1+0,4) = 160\\ \mathrm{MPa}\cdot 1{,}4 = 224\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: o módulo de Young de 224\\ \mathrm{MPa} confirma que estamos lidando com um elastômero bem macio (muito abaixo de metais) — faz sentido para borrachas artificiais.

Resposta

G = 80\\ \mathrm{MPa}
E = 224\\ \mathrm{MPa}

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