Duas partículas de cargas q_{1} e q_{2} estão dispostas em um eixo x, sendo \ell a distância entre elas. A partícula q_{1} está na origem do sistema de coordenadas, enquanto q_{2} está no ponto x_{2}=\ell, à direita de q_{1}.
(1.0): Qual a força que sofre uma partícula q_{3} colocada em um ponto x entre q_{1} e q_{2} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo pego do enunciado):
  • Duas partículas puntiformes com cargas q_{1} e q_{2} estão sobre o eixo x.
  • A partícula q_{1} está em x_{1}=0.
  • A partícula q_{2} está em x_{2}=\ell (à direita de q_{1}).
  • Uma terceira partícula de carga q_{3} é colocada em um ponto x tal que 0<x<\ell (entre q_{1} e q_{2}).
O enunciado pergunta:
  • Qual é a força que atua sobre a partícula q_{3} quando ela está em x (entre q_{1} e q_{2})?

Passo 2

Vamos recordar a lei básica a usar (a fórmula e o que cada símbolo significa). A força eletrostática entre duas cargas puntiformes q_a e q_b, separadas por uma distância r, é dada por (lei de Coulomb):
\vec{F}_{ab}=k\,\dfrac{q_a q_b}{r^{2}}\,\hat{e}_{ab},
onde:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática,
  • q_a e q_b são as cargas (podem ser positivas ou negativas),
  • r é a distância entre as cargas,
  • \hat{e}_{ab} é o versor (vetor unitário) que aponta de a para b.
    Se o produto q_a q_b é positivo, a força é repulsiva; se é negativo, a força é atrativa. Importante: as forças vetoriais se somam (princípio da superposição).

Passo 3

Determine as distâncias e os versores relevantes (posicionamento no eixo x):
  • Distância entre q_{1} (em 0) e q_{3} (em x) é x.
  • Distância entre q_{2} (em \ell) e q_{3} (em x) é \ell-x.
  • Versor do sentido positivo do eixo x será \hat{\imath}.
  • O versor que aponta de q_{1} para q_{3} é \hat{e}_{13}=+\hat{\imath} (porque q_{3} está à direita de q_{1}).
  • O versor que aponta de q_{2} para q_{3} é \hat{e}_{23}=-\hat{\imath} (porque q_{3} está à esquerda de q_{2}).

Passo 4

Calcule a força exercida por q_{1} sobre q_{3}. Aplicando Coulomb:
\vec{F}_{13}=k\,\dfrac{q_{1}q_{3}}{x^{2}}\,\hat{e}_{13}.
Substituindo \hat{e}_{13}=+\hat{\imath} obtém-se:
\vec{F}_{13}=k\,\dfrac{q_{1}q_{3}}{x^{2}}\,\hat{\imath}.
Comentário prático: se q_{1}q_{3}>0 essa força aponta para a direita (repulsão); se q_{1}q_{3}<0 aponta para a esquerda (atração). A fórmula já encampa o sinal através do produto q_{1}q_{3}.

Passo 5

Calcule a força exercida por q_{2} sobre q_{3}. Pela mesma lei:
\vec{F}_{23}=k\,\dfrac{q_{2}q_{3}}{(\ell-x)^{2}}\,\hat{e}_{23}.
Como \hat{e}_{23}=-\hat{\imath}, escreve-se:
\vec{F}_{23}=-\,k\,\dfrac{q_{2}q_{3}}{(\ell-x)^{2}}\,\hat{\imath}.
Comentário prático: o sinal do produto q_{2}q_{3} determina se a força resultante deste termo tende a atrair (se negativo) ou repelir (se positivo), mas a direção geométrica é para a esquerda por causa do versor -\hat{\imath}.

Passo 6

Use o princípio da superposição: a força total sobre q_{3} é a soma vetorial das duas forças:
\vec{F}=\vec{F}_{13}+\vec{F}_{23}.
Substituindo as expressões das etapas anteriores:
\vec{F}=k\left(\dfrac{q_{1}q_{3}}{x^{2}} - \dfrac{q_{2}q_{3}}{(\ell-x)^{2}}\right)\hat{\imath}.

Passo 7

Fatorando q_{3} (útil para interpretação) obtemos a forma final compacta:
\vec{F}=k\,q_{3}\!\left(\dfrac{q_{1}}{x^{2}}-\dfrac{q_{2}}{(\ell-x)^{2}}\right)\hat{\imath}.
Interpretação do sinal:
  • Se o fator entre parênteses for positivo, a força resultante aponta para a direita ( +\hat{\imath}).
  • Se for negativo, aponta para a esquerda ( -\hat{\imath}).
  • O módulo da força é \big|k\,q_{3}(\dfrac{q_{1}}{x^{2}}-\dfrac{q_{2}}{(\ell-x)^{2}})\big|.

Passo 8

Dica prática para prova / casos especiais rápidos:
  • Se q_{1}=q_{2} então o termo entre parênteses vira \dfrac{q_{1}}{x^{2}}-\dfrac{q_{1}}{(\ell-x)^{2}}; a posição de equilíbrio (força nula) é x=\dfrac{\ell}{2}.
  • Condição geral para força nula ( \vec{F}=\vec{0}) exige
\dfrac{q_{1}}{x^{2}}=\dfrac{q_{2}}{(\ell-x)^{2}}
que resolve para
x=\dfrac{\ell}{1+\sqrt{q_{2}/q_{1}}}\quad\text{(assumindo \(q_{1},q_{2}>0\); ajustar sinais se houver cargas negativas).}
  • No cálculo rápido em prova: calcule as magnitudes e lembre-se dos sinais ao somar (direções opostas ao longo de um único eixo facilitam bastante).

Resposta

\displaystyle \vec{F}=k\,q_{3}\!\left(\dfrac{q_{1}}{x^{2}}-\dfrac{q_{2}}{(\ell-x)^{2}}\right)\hat{\imath}

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