Duas partículas de cargas q_{1} e q_{2} estão dispostas em um eixo x, sendo \ell a distância entre elas. A partícula q_{1} está na origem do sistema de coordenadas, enquanto q_{2} está no ponto x_{2}=\ell, à direita de q_{1}.
(1.0): Qual a força que a partícula q_{1} exerce sobre a partícula q_{2} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem claro para não nos perder):
  • Duas partículas com cargas \,q_{1}\, e \,q_{2}\, estão sobre o eixo x.
  • A partícula \,q_{1}\, está na origem: x_{1}=0.
  • A partícula \,q_{2}\, está em x_{2}=\ell (à direita de q_{1}).
  • A distância entre elas é \ell.
    A pergunta é: qual a força que a partícula \,q_{1}\, exerce sobre a partícula \,q_{2}\,?

Passo 2

A peça de teoria que precisamos usar é a Lei de Coulomb. Ela diz que a força elétrica entre duas cargas puntiformes é radial (ao longo da linha que une as cargas), e tem módulo proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância. Em forma de vetor:
\vec{F}_{1\to 2}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\;\hat{\mathbf{r}}_{1\to2}.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{F}_{1\to 2} é a força que a carga q_{1} exerce sobre q_{2}.
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante elétrica).
  • r é a distância entre as cargas (aqui r=\ell).
  • \hat{\mathbf{r}}_{1\to2} é o versor (vetor unitário) que aponta de q_{1} para q_{2}: indica a direção da força quando o produto q_{1}q_{2} for positivo (repulsão); se q_{1}q_{2} for negativo a força aponta em sentido contrário ao versor (atração).

Passo 3

Determinar o versor na configuração dada. Como q_{1} está em x=0 e q_{2} em x=\ell à direita, o vetor que vai de q_{1} para q_{2} é \ell\,\hat{\mathbf{x}}. Portanto o versor é
\hat{\mathbf{r}}_{1\to2}=\hat{\mathbf{x}},
onde \hat{\mathbf{x}} é o versor na direção positiva do eixo x.

Passo 4

Agora substituímos r=\ell e \hat{\mathbf{r}}_{1\to2}=\hat{\mathbf{x}} na Lei de Coulomb:
\vec{F}_{1\to 2}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q_{1}q_{2}}{\ell^{2}}\;\hat{\mathbf{x}}.
Essa expressão já é a força vetorial completa. Note que o sinal do produto q_{1}q_{2} determina o sentido:
  • Se q_{1}q_{2}>0 (mesmo sinal): \vec{F}_{1\to2} aponta para +\hat{\mathbf{x}} (repulsão, empurra q_{2} para a direita).
  • Se q_{1}q_{2}<0 (sinais opostos): \vec{F}_{1\to2} aponta para -\hat{\mathbf{x}} (atração, puxa q_{2} para a esquerda).

Passo 5

Se você preferir só o módulo (o valor absoluto da força), retire o sinal do produto e obtenha:
F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{|q_{1}q_{2}|}{\ell^{2}},
e a direção é dada conforme o sinal de q_{1}q_{2} explicado no passo anterior.

Resposta

\displaystyle \vec{F}_{1\to 2}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q_{1}q_{2}}{\ell^{2}}\;\hat{\mathbf{x}}

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