Você tem três partículas carregadas que estão inicialmente muito distantes uma da outra, e você deve juntá-las para formar um triângulo equilátero com lado ell. As partículas A e B possuem cada uma carga -q, enquanto que a partícula C possui carga +4 q.
Quanto trabalho você deve fazer para formar esse triângulo equilátero?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos três cargas pontuais que partem do infinito e são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado \ell. As cargas são
q_A=-q em A
q_B=-q em B
q_C=+4q em C
Precisamos calcular o trabalho que o agente externo faz para montar essa configuração. Na eletrostática de cargas pontuais, o trabalho total corresponde à energia potencial do sistema, dada por
U \;=\;\sum_{i<j}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_i\,q_j}{r_{ij}}.

Passo 2

Trazer a carga A do infinito não faz trabalho (não há outras cargas no sistema).
Em seguida, trazemos B até ficar a uma distância \ell de A. O trabalho associado é
W_{AB} \;=\;\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_A\,q_B}{\ell} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-q)(-q)}{\ell} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{\ell}.

Passo 3

Por fim, trazemos C para formar o triângulo. C interage com A e com B, cada um a distância \ell. Os trabalhos são
W_{CA}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_C\,q_A}{\ell} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(+4q)(-q)}{\ell} =-\frac{4}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{\ell},
W_{CB}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_C\,q_B}{\ell} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(+4q)(-q)}{\ell} =-\frac{4}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{\ell}.

Passo 4

Somando todas as contribuições, o trabalho total é
W_{\text{tot}} = W_{AB}+W_{CA}+W_{CB} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell} -2\;\frac{4}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell} =\frac{1-8}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{\ell} =-\frac{7}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{\ell}.

Resposta

W \;=\; -\frac{7}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{\ell}.

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