Duas particulas cuja massa reduzida é mu interagem via uma energia potencial U=12 k r^2, onde r é a distância entre elas. Fazendo uma expansão em série de Taylor do U ef (r) em torno do ponto de equilibrio ro e negligenciando todos os termos em (r-r0)^3 e mais elevados, determine a frequência das pequenas oscilações próximas da órbita circular se as partículas forem perturbadas um pouco da separação r .

Passo 1

Tranquilo, o enunciado diz: “Duas partículas de massa reduzida μ interagem por um potencial chão-de-mola . Queremos achar a frequência das pequenas oscilações radiais quando elas giram numa órbita quase circular de raio .”
Conteúdo: mecânica clássica (força central), potencial eficaz e oscilações pequenas.
O que vamos precisar:
  1. Montar o potencial eficaz .
  2. Achar o ponto de equilíbrio via .
  3. Fazer Taylor de em torno de até a ordem quadrática.
  4. Reconhecer que isso vira um oscilador harmônico e extrair .

Passo 2

Escrevendo o potencial eficaz:
Urm ef(r);=;12,k,r^2;+;L^22,mu,r^2
Para uma órbita circular estável em dUrm efdr|r0=0 ;;Longrightarrow;; k,r0 ;-;L^2mu,r0^3=0 , impomos
L^2mu,r0^4=k
Isso dá

Passo 3

Agora vamos à expansão de Taylor em torno de Urm ef(r)approx Urm ef(r0) +U'rm ef(r0),x +12,U''rm ef(r0),x^2 +dots . Se definirmos U''rm ef(r) =ddrl(k,r - L^2mu,r^3r) =k + 3,L^2mu,r^4 , então
U''rm ef(r0) =k + 3L^2mu,r0^4 =k + 3k =4k
Como , o termo linear desaparece. Precisamos de
Avaliado em :

Passo 4

Para pequenas oscilações Urm ef(r)approx constante+12,(4k),x^2 , o potencial fica
mu,ddot x = -ddxl(tfrac12,4k,x^2r) =-4k,x,
Isso é exatamente um oscilador harmônico com “constante” elástica efetiva omega^2=4kmu Longrightarrow omega=2raizkmu . A equação de movimento radial é
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Resposta

boxedomega=2raizkmu

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