Duas particulas cuja massa reduzida é interagem via uma energia potencial , onde é a distância entre elas. Fazendo uma expansão em série de Taylor do em torno do ponto de equilibrio e negligenciando todos os termos em e mais elevados, determine a frequência das pequenas oscilações próximas da órbita circular se as partículas forem perturbadas um pouco da separação .
Passo 1
Tranquilo, o enunciado diz: “Duas partículas de massa reduzida μ interagem por um potencial chão-de-mola . Queremos achar a frequência das pequenas oscilações radiais quando elas giram numa órbita quase circular de raio .”
Conteúdo: mecânica clássica (força central), potencial eficaz e oscilações pequenas.
O que vamos precisar:
Montar o potencial eficaz .
Achar o ponto de equilíbrio via .
Fazer Taylor de em torno de até a ordem quadrática.
Reconhecer que isso vira um oscilador harmônico e extrair .
Passo 2
Escrevendo o potencial eficaz:
Para uma órbita circular estável em , impomos
Isso dá
Passo 3
Agora vamos à expansão de Taylor em torno de Urm ef(r)approx Urm ef(r0) +U'rm ef(r0),x +12,U''rm ef(r0),x^2 +dots . Se definirmos U''rm ef(r) =ddrl(k,r - L^2mu,r^3r) =k + 3,L^2mu,r^4 , então
U''rm ef(r0) =k + 3L^2mu,r0^4 =k + 3k =4k
Como , o termo linear desaparece. Precisamos de
Avaliado em :
Passo 4
Para pequenas oscilações Urm ef(r)approx constante+12,(4k),x^2 , o potencial fica
mu,ddot x = -ddxl(tfrac12,4k,x^2r) =-4k,x,
Isso é exatamente um oscilador harmônico com “constante” elástica efetiva omega^2=4kmu Longrightarrow omega=2raizkmu . A equação de movimento radial é