(23.24) Considere um número infinito de cargas idênticas (cada uma de valor q ) colocadas ao longo do eixo x, a distâncias a, 2a, 3a, 4a, ldots a partir da origem. Qual é o campo elétrico na origem devido a essa distribuição? Dica: Use o fato que sumn=1^infty 1n^2=pi^26. Resposta: -pi^2 ke q6 a^2 i

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um monte (infinitas) cargas iguais valendo posicionadas ao longo do eixo , cada uma em . A pergunta é: qual é o campo elétrico lá na origem (ponto ) por causa dessa galera toda?
Conteúdo que vamos usar:
  1. Lei de Coulomb (campo de uma carga pontual).
  2. Princípio da superposição (somar campos de cada carga).
  3. Série infinita .

Passo 2

Primeiro, lembra da lei de Coulomb: o campo provocado por uma carga pontual E = ke,qr^2,r, a uma distância En = ke,q(na)^2 é
En = -,ke,q(na)^2,i
onde é a constante eletrostática e aponta da carga para o ponto onde estamos medindo.
No nosso caso, uma carga na posição “empurra” ou “puxa” a gente na direção do eixo . Como a carga está à direita da origem, o campo aponta para a esquerda, ou seja, . A distância é . Então o módulo do campo dessa carga é
e o vetor campo é

Passo 3

Agora entra o princípio da superposição: o campo total é a soma de todos os Erm total = sumn=1^infty En = -,ke,q,sumn=1^infty1(na)^2,i = -,ke,qa^2,sumn=1^infty1n^2,i para . Como todos têm a mesma direção , basta somar os módulos:

Passo 4

Aí usamos a dica da série famosa:
sumn=1^infty 1n^2 = pi^26
Substituindo na soma, fica
Erm total = -,ke,qa^2;pi^26;i = -,pi^2,ke,q6,a^2;i

Resposta

boxedE(0) = -pi^2,ke,q6,a^2,i

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