Duas partículas estão fixas sobre o eixo
. A partícula 1 , com carga
, está em
; a partícula 2 , com carga
, está em
. Determine os pontos sobre o eixo
, além do infinito, em que o potencial elétrico é nulo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Carga da partícula 1:
. - Posição da partícula 1:
. - Carga da partícula 2:
. - Posição da partícula 2:
.
- Carga da partícula 1:
-
O enunciado pede: determinar os pontos sobre o eixo
, além do infinito, em que o potencial elétrico total é nulo. Ou seja, achar os valores de tais que o potencial total .
Passo 2
Relembre a fórmula e a ideia que vamos usar (aula rápida e útil):
- O potencial elétrico gerado por uma carga pontual
em um ponto situado a uma distância é
onde
é a constante eletrostática (não precisamos do seu valor numérico aqui) e
é a distância entre a carga e o ponto onde se avalia o potencial.
- Pelo princípio da superposição, o potencial total devido a duas cargas é a soma dos potenciais individuais. Assim, para um ponto
no eixo a distância até cada carga é e , e o potencial total é
- Queremos
. Como , podemos dividir ambos os lados por e obter a equação
Passo 3
Observação sobre valor absoluto e regiões (por que precisamos dividir em casos):
- A presença de
e obriga a tratar separadamente as regiões do eixo onde as expressões dentro do módulo mudam de sinal. As regiões relevantes são: - Região A:
(à esquerda de ambas as cargas). - Região B:
(entre as cargas). - Região C:
(à direita de ambas as cargas).
- Região A:
Em cada região substituímos
por
ou
conforme o caso e resolvemos a equação para
. Depois verificamos se a solução encontrada pertence àquela região (senão, descartamos).
Passo 4
Região A:
. Aqui
e
. Então nossa equação fica
Vamos isolar
. Igualando os termos:
Multiplicando em cruz:
Expandindo:
Agrupando os termos com
:
Logo
Agora substituo os números (uso metros para posições e
para cargas; os
se cancelam na relação):
- Calcule
. - Calcule
. - Soma no numerador:
. - Denominador:
.
Assim
Verificação de região: essa solução dá
, mas assumimos
. Como
, a solução NÃO pertence à Região A. Conclusão: não há solução válida em
.
Passo 5
Região B:
. Aqui
e
. A equação é
Isolando:
Multiplicando em cruz:
Expandindo:
Agrupando
:
Assim
Agora numérico:
-
. -
. Então . - Denominador:
.
Logo
Verificação de região:
, portanto esta solução pertence à Região B e é válida. Isto significa que existe um ponto entre as cargas onde os potenciais se cancelam.
Passo 6
Região C:
. Aqui
e
. A equação é
Isolando e multiplicando em cruz:
Expandindo:
Agrupando os
:
Logo
Este é o mesmo valor que apareceu na Região A, agora testado para
. Reuso os cálculos:
- Numerador
. - Denominador
.
Portanto
Verificação de região:
, logo pertence à Região C e é válida. Conclusão: existe também um ponto à direita de ambas as cargas onde o potencial total é nulo.
Passo 7
Interpretação física breve (motivacional): temos cargas de sinais opostos (
negativa e
positiva). O potencial é escalar, então onde o potencial de uma cancela o da outra (com sinais opostos) obtemos
. Para cargas opostas normalmente aparece um ponto entre elas e outro fora, do lado mais afastado da carga cujo sinal domina a soma (a conta matemática que fizemos revelou exatamente onde).