Duas partículas estão fixas sobre o eixo x. A partícula 1 , com carga -56 \mu \mathrm{C}, está em x=23 \mathrm{~cm}; a partícula 2 , com carga 27 \mu \mathrm{C}, está em x=94 \mathrm{~cm}. Determine os pontos sobre o eixo x, além do infinito, em que o potencial elétrico é nulo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • Carga da partícula 1: q_1 = -56\\ \mu\mathrm{C}.
    • Posição da partícula 1: x_1 = 23\\ \mathrm{cm} = 0,23\\ \mathrm{m}.
    • Carga da partícula 2: q_2 = 27\\ \mu\mathrm{C}.
    • Posição da partícula 2: x_2 = 94\\ \mathrm{cm} = 0,94\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado pede: determinar os pontos sobre o eixo x, além do infinito, em que o potencial elétrico total é nulo. Ou seja, achar os valores de x tais que o potencial total V(x)=0.

Passo 2

Relembre a fórmula e a ideia que vamos usar (aula rápida e útil):
  • O potencial elétrico gerado por uma carga pontual q em um ponto situado a uma distância r é
V = k\,\frac{q}{r},
onde k é a constante eletrostática (não precisamos do seu valor numérico aqui) e r é a distância entre a carga e o ponto onde se avalia o potencial.
  • Pelo princípio da superposição, o potencial total devido a duas cargas é a soma dos potenciais individuais. Assim, para um ponto x no eixo x a distância até cada carga é |x-x_1| e |x-x_2|, e o potencial total é
V(x)=k\left(\frac{q_1}{|x-x_1|}+\frac{q_2}{|x-x_2|}\right).
  • Queremos V(x)=0. Como k\neq0, podemos dividir ambos os lados por k e obter a equação
\frac{q_1}{|x-x_1|}+\frac{q_2}{|x-x_2|}=0.

Passo 3

Observação sobre valor absoluto e regiões (por que precisamos dividir em casos):
  • A presença de |x-x_1| e |x-x_2| obriga a tratar separadamente as regiões do eixo x onde as expressões dentro do módulo mudam de sinal. As regiões relevantes são:
    1. Região A: x < x_1 (à esquerda de ambas as cargas).
    2. Região B: x_1 < x < x_2 (entre as cargas).
    3. Região C: x > x_2 (à direita de ambas as cargas).
Em cada região substituímos |x-x_i| por x_i-x ou x-x_i conforme o caso e resolvemos a equação para x. Depois verificamos se a solução encontrada pertence àquela região (senão, descartamos).

Passo 4

Região A: x < x_1. Aqui |x-x_1|=x_1-x e |x-x_2|=x_2-x. Então nossa equação fica
\frac{q_1}{x_1-x}+\frac{q_2}{x_2-x}=0.
Vamos isolar x. Igualando os termos:
\frac{q_1}{x_1-x} = -\frac{q_2}{x_2-x}.
Multiplicando em cruz:
q_1(x_2-x) = -q_2(x_1-x).
Expandindo:
q_1 x_2 - q_1 x = -q_2 x_1 + q_2 x.
Agrupando os termos com x:
(-q_1 - q_2)x = -q_2 x_1 - q_1 x_2.
Logo
x=\frac{q_2 x_1 + q_1 x_2}{q_1+q_2}.
Agora substituo os números (uso metros para posições e \mu\mathrm{C} para cargas; os \mu\mathrm{C} se cancelam na relação):
  • Calcule q_2 x_1 = 27\cdot 0,23 = 6,21.
  • Calcule q_1 x_2 = (-56)\cdot 0,94 = -52,64.
  • Soma no numerador: 6,21 + (-52,64) = -46,43.
  • Denominador: q_1+q_2 = -56 + 27 = -29.
Assim
x = \frac{-46,43}{-29} \approx 1,601034\\ \mathrm{m}.
Verificação de região: essa solução dá x\approx 1,601\\ \mathrm{m}, mas assumimos x<x_1=0,23\\ \mathrm{m}. Como 1,601>0,23, a solução NÃO pertence à Região A. Conclusão: não há solução válida em x<x_1.

Passo 5

Região B: x_1 < x < x_2. Aqui |x-x_1|=x-x_1 e |x-x_2|=x_2-x. A equação é
\frac{q_1}{x-x_1}+\frac{q_2}{x_2-x}=0.
Isolando:
\frac{q_1}{x-x_1} = -\frac{q_2}{x_2-x}.
Multiplicando em cruz:
q_1(x_2-x) = -q_2(x-x_1).
Expandindo:
q_1 x_2 - q_1 x = -q_2 x + q_2 x_1.
Agrupando x:
(-q_1 + q_2)x = q_2 x_1 - q_1 x_2.
Assim
x = \frac{q_2 x_1 - q_1 x_2}{-q_1 + q_2}.
Agora numérico:
  • q_2 x_1 = 27\cdot 0,23 = 6,21.
  • -q_1 x_2 = -(-56)\cdot 0,94 = 56\cdot 0,94 = 52,64. Então q_2 x_1 - q_1 x_2 = 6,21 + 52,64 = 58,85.
  • Denominador: -q_1 + q_2 = -(-56) + 27 = 56 + 27 = 83.
Logo
x = \frac{58,85}{83} \approx 0,709036\\ \mathrm{m}.
Verificação de região: 0,23 < 0,709036 < 0,94, portanto esta solução pertence à Região B e é válida. Isto significa que existe um ponto entre as cargas onde os potenciais se cancelam.

Passo 6

Região C: x > x_2. Aqui |x-x_1|=x-x_1 e |x-x_2|=x-x_2. A equação é
\frac{q_1}{x-x_1}+\frac{q_2}{x-x_2}=0.
Isolando e multiplicando em cruz:
q_1(x-x_2) = -q_2(x-x_1).
Expandindo:
q_1 x - q_1 x_2 = -q_2 x + q_2 x_1.
Agrupando os x:
(q_1+q_2)x = q_1 x_2 + q_2 x_1.
Logo
x = \frac{q_1 x_2 + q_2 x_1}{q_1+q_2}.
Este é o mesmo valor que apareceu na Região A, agora testado para x>x_2. Reuso os cálculos:
  • Numerador q_1 x_2 + q_2 x_1 = -52,64 + 6,21 = -46,43.
  • Denominador q_1+q_2 = -29.
Portanto
x = \frac{-46,43}{-29} \approx 1,601034\\ \mathrm{m}.
Verificação de região: 1,601034 > 0,94, logo pertence à Região C e é válida. Conclusão: existe também um ponto à direita de ambas as cargas onde o potencial total é nulo.

Passo 7

Interpretação física breve (motivacional): temos cargas de sinais opostos ( q_1 negativa e q_2 positiva). O potencial é escalar, então onde o potencial de uma cancela o da outra (com sinais opostos) obtemos V=0. Para cargas opostas normalmente aparece um ponto entre elas e outro fora, do lado mais afastado da carga cujo sinal domina a soma (a conta matemática que fizemos revelou exatamente onde).

Resposta

\displaystyle x\approx 0,709\\ \mathrm{m}
\displaystyle x\approx 1,601\\ \mathrm{m}

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