A soma dos quadrados das funções circulares seno, cosseno e tangente do arco
, sabendo-se que o lado do pentágono regular estrelado, inscrito em um círculo de raio unitário, é
, vale:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede a soma dos quadrados das funções circulares seno, cosseno e tangente do arco
. Ou seja, calcular
Informação adicional dada no enunciado (que pode servir para conexões geométricas): o lado do pentágono regular estrelado inscrito num círculo de raio unitário é
. Vou usar apenas o que for necessário, listando claramente o que tenho:
- Ângulo
(ou ). - Queremos
Passo 2
Usar identidades trigonométricas básicas para simplificar a soma antes de qualquer cálculo específico do ângulo.
Lembrando a identidade pitagórica e a identidade envolvendo tangente e secante:
Portanto
Logo basta encontrar
para
e calcular
.
Passo 3
Determinar
usando relações do pentágono regular (aquelas que geram o número áureo). Vou conectar diagonais e lados do pentágono para obter uma relação simples.
Seja
o lado de um pentágono regular inscrito numa circunferência unitária e
a diagonal (distância entre vértices com um vértice entre eles). É conhecido (e pode ser provado por semelhança de triângulos no pentágono/estrelado) que a razão diagonal/lado satisfaz
onde
é o número áureo. Essa razão
satisfaz a equação
cuja solução positiva é
(Se quiser: essa relação surge da semelhança de triângulos formados pelos lados e diagonais do pentágono estrelado.)
Passo 4
Relacionar essa razão com funções trigonométricas para obter
e daí
.
Num pentágono regular inscrito na circunferência de raio unitário, o comprimento do lado entre vértices adjacentes é
e o comprimento da diagonal entre vértices separados por um vértice é
Assim
Usando a identidade
, obtemos
Mas já sabemos que
. Portanto
Passo 5
Calcular
a partir de
usando a fórmula do cosseno do ângulo duplo.
A fórmula do cosseno duplo é
Tomando
, obtemos
. Substituindo
:
Calcule passo a passo:
Logo
Portanto
Passo 6
Calcular a soma desejada usando
.
Temos
para
. Então
Portanto
Racionalizando o denominador multiplicando por
:
Portanto
Resposta
(C)