A soma dos quadrados das funções circulares seno, cosseno e tangente do arco \frac{2 \pi}{5}, sabendo-se que o lado do pentágono regular estrelado, inscrito em um círculo de raio unitário, é \frac{1}{2} \sqrt{10+2 \sqrt{5}}, vale:
(A) 2\left(3+\frac{1}{2} \sqrt{5}\right)
(B) 3(2+\sqrt{5})
(C) 2(3+\sqrt{5})
(D) 3+\sqrt{5}
(E) 2+\sqrt{5}

Passo 1

O enunciado pede a soma dos quadrados das funções circulares seno, cosseno e tangente do arco \dfrac{2\pi}{5}. Ou seja, calcular
\sin^2\!\left(\tfrac{2\pi}{5}\right)+\cos^2\!\left(\tfrac{2\pi}{5}\right)+\tan^2\!\left(\tfrac{2\pi}{5}\right).
Informação adicional dada no enunciado (que pode servir para conexões geométricas): o lado do pentágono regular estrelado inscrito num círculo de raio unitário é \dfrac{1}{2}\sqrt{10+2\sqrt{5}}. Vou usar apenas o que for necessário, listando claramente o que tenho:
  • Ângulo \theta = \dfrac{2\pi}{5} (ou 72^\circ).
  • Queremos \sin^2\theta+\cos^2\theta+\tan^2\theta.

Passo 2

Usar identidades trigonométricas básicas para simplificar a soma antes de qualquer cálculo específico do ângulo.
Lembrando a identidade pitagórica e a identidade envolvendo tangente e secante:
\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1, \qquad 1+\tan^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}.
Portanto
\sin^2\theta+\cos^2\theta+\tan^2\theta = 1+\tan^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}.
Logo basta encontrar \cos\theta para \theta=\dfrac{2\pi}{5} e calcular \dfrac{1}{\cos^2\theta}.

Passo 3

Determinar \cos\!\left(\tfrac{2\pi}{5}\right) usando relações do pentágono regular (aquelas que geram o número áureo). Vou conectar diagonais e lados do pentágono para obter uma relação simples.
Seja s o lado de um pentágono regular inscrito numa circunferência unitária e d a diagonal (distância entre vértices com um vértice entre eles). É conhecido (e pode ser provado por semelhança de triângulos no pentágono/estrelado) que a razão diagonal/lado satisfaz
\frac{d}{s} = \varphi,
onde \varphi é o número áureo. Essa razão \varphi satisfaz a equação
\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}\quad\Rightarrow\quad \varphi^2=\varphi+1,
cuja solução positiva é
\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.
(Se quiser: essa relação surge da semelhança de triângulos formados pelos lados e diagonais do pentágono estrelado.)

Passo 4

Relacionar essa razão com funções trigonométricas para obter \cos36^\circ e daí \cos72^\circ.
Num pentágono regular inscrito na circunferência de raio unitário, o comprimento do lado entre vértices adjacentes é
s = 2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{5}\right)=2\sin 36^\circ,
e o comprimento da diagonal entre vértices separados por um vértice é
d = 2\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{5}\right)=2\sin 72^\circ.
Assim
\frac{d}{s}=\frac{2\sin72^\circ}{2\sin36^\circ}=\frac{\sin72^\circ}{\sin36^\circ}.
Usando a identidade \sin72^\circ = 2\sin36^\circ\cos36^\circ, obtemos
\frac{d}{s}=\frac{2\sin36^\circ\cos36^\circ}{\sin36^\circ}=2\cos36^\circ.
Mas já sabemos que \dfrac{d}{s}=\varphi. Portanto
2\cos36^\circ=\varphi \quad\Rightarrow\quad \cos36^\circ=\frac{\varphi}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.

Passo 5

Calcular \cos72^\circ a partir de \cos36^\circ usando a fórmula do cosseno do ângulo duplo.
A fórmula do cosseno duplo é
\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1.
Tomando \alpha=36^\circ, obtemos \cos72^\circ = 2\cos^2 36^\circ -1. Substituindo \cos36^\circ=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}:
\cos72^\circ = 2\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2 -1.
Calcule passo a passo:
\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2 = \frac{(1+\sqrt{5})^2}{16} = \frac{1+2\sqrt{5}+5}{16} = \frac{6+2\sqrt{5}}{16} = \frac{3+\sqrt{5}}{8}.
Logo
\cos72^\circ = 2\cdot\frac{3+\sqrt{5}}{8}-1 = \frac{3+\sqrt{5}}{4}-1 = \frac{3+\sqrt{5}-4}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.
Portanto
\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.

Passo 6

Calcular a soma desejada usando \dfrac{1}{\cos^2\theta}.
Temos \cos\theta=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4} para \theta=\dfrac{2\pi}{5}. Então
\cos^2\theta=\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2=\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{16}=\frac{5-2\sqrt{5}+1}{16}=\frac{6-2\sqrt{5}}{16}=\frac{2(3-\sqrt{5})}{16}=\frac{3-\sqrt{5}}{8}.
Portanto
\frac{1}{\cos^2\theta}=\frac{1}{\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}}=\frac{8}{3-\sqrt{5}}.
Racionalizando o denominador multiplicando por 3+\sqrt{5}:
\frac{8}{3-\sqrt{5}}\cdot\frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{8(3+\sqrt{5})}{9-5}=\frac{8(3+\sqrt{5})}{4}=2(3+\sqrt{5}).
Portanto
\sin^2\theta+\cos^2\theta+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}=2(3+\sqrt{5}).

Resposta

(C) 2(3+\sqrt{5})

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