Resolver as seguintes equações diferenciais.
$x y^{4} d x+\left(y^{2}+2\right) e^{-3 x} d y=0
$x y^{4} d x+\left(y^{2}+2\right) e^{-3 x} d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral (ou solução implícita) da equação diferencial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Podemos escrever a equação na forma diferencial de 1-forma
com - Note que para manipular termos que envolvem
ou dividir por potências de é necessário que . Também nunca é zero. Então as operações abaixo valem em regiões onde . - A equação é uma relação entre
e ; vamos procurar a solução implícita (constante arbitrária).
Passo 2
Escolha do método de resolução (explicando por que):
Primeiro teste rápido: verificar se a equação é exata exigiria comparar com
. Calculemos:
Primeiro teste rápido: verificar se a equação é exata exigiria comparar
Como
não coincide com
, a equação não é exata. Outra possibilidade é testar separabilidade: podemos tentar rearranjar para
. A equação dá
ou seja, é um produto de uma função de
por uma função de
— portanto a equação é separável. Vou usar o método de separação de variáveis porque é direto e exige menos manipulações do que tentar um fator integrante.
Passo 3
Separar variáveis: colocar todos os termos com
em um lado e todos os termos com
no outro. A partir de
obtemos
Isto já está separado: o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Vou calcular a integral do lado esquerdo primeiro:
Lembrando a regra de potência para primitiva:
para
. Aplicando:
Portanto
Passo 5
Agora a integral do lado direito:
Para
usamos integração por partes. Lembre a fórmula de partes:
. Escolhemos
e
. Então
e
. Assim
Multiplicando por
,
Passo 6
Igualar as duas primitivas (absorvendo constantes numa constante única
). Temos
Para deixar a expressão mais “limpa”, multiplico por
e reorganizo os termos à direita numa forma factorizada:
onde
é outra constante arbitrária. Fatorando
no lado direito e colocando um denominador comum:
Esta é a solução geral em forma implícita. Pode-se deixar assim (é a forma usual). Observação: é possível rearranjar multiplicando por
se quiser uma forma polinomial em
, mas isso não produz uma expressão explícita simples para
em termos elementares.
Passo 7
Comentário final curto e incentivo: pronto — chegamos à solução geral implícita. Em provas, quando a separação de variáveis leva a integrais com potências e exponenciais, a estratégia padrão é exatamente essa: separar, integrar cada lado com as regras de potência e partes, e juntar constants. Você já fez o passo a passo completo; se quiser, posso tentar isolar
explicando as dificuldades (a solução explícita exigiria resolver uma equação cúbica em
em termos de
).