Resolver as seguintes equações diferenciais.
$x y^{4} d x+\left(y^{2}+2\right) e^{-3 x} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x y^{4}\,dx + \left(y^{2}+2\right)e^{-3x}\,dy = 0.
O que se pede: encontrar a solução geral (ou solução implícita) da equação diferencial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Podemos escrever a equação na forma diferencial de 1-forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=x y^{4},\qquad N(x,y)=\left(y^{2}+2\right)e^{-3x}.
  • Note que para manipular termos que envolvem y^{-1} ou dividir por potências de y é necessário que y\neq0. Também e^{-3x} nunca é zero. Então as operações abaixo valem em regiões onde y\neq0.
  • A equação é uma relação entre x e y; vamos procurar a solução implícita F(x,y)=C (constante arbitrária).

Passo 2

Escolha do método de resolução (explicando por que):
Primeiro teste rápido: verificar se a equação é exata exigiria comparar \partial M/\partial y com \partial N/\partial x. Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y}=4x y^{3},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-3\left(y^{2}+2\right)e^{-3x}.
Como 4x y^{3} não coincide com -3(y^{2}+2)e^{-3x}, a equação não é exata. Outra possibilidade é testar separabilidade: podemos tentar rearranjar para dy/dx = \text{função de }x \times \text{função de }yçãçã. A equação dá
\frac{dy}{dx} = -\frac{x y^{4}}{(y^{2}+2)e^{-3x}} = -x e^{3x}\,\frac{y^{4}}{y^{2}+2},
ou seja, é um produto de uma função de x por uma função de y — portanto a equação é separável. Vou usar o método de separação de variáveis porque é direto e exige menos manipulações do que tentar um fator integrante.

Passo 3

Separar variáveis: colocar todos os termos com y em um lado e todos os termos com x no outro. A partir de
\frac{dy}{dx} = -x e^{3x}\,\frac{y^{4}}{y^{2}+2},
obtemos
\frac{y^{2}+2}{y^{4}}\,dy = -x e^{3x}\,dx.
Isto já está separado: o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Vou calcular a integral do lado esquerdo primeiro:
\int \frac{y^{2}+2}{y^{4}\,}\,dy = \int\!\left(y^{-2} + 2y^{-4}\right)\,dy.
Lembrando a regra de potência para primitiva: \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aplicando:
\int y^{-2}\,dy = -y^{-1},\qquad \int y^{-4}\,dy = -\frac{1}{3}y^{-3}.
Portanto
\int\frac{y^{2}+2}{y^{4}}\,dy = -y^{-1} - \frac{2}{3}y^{-3} + C_1.

Passo 5

Agora a integral do lado direito:
\int -x e^{3x}\,dx = -\int x e^{3x}\,dx.
Para \int x e^{3x}\,dx usamos integração por partes. Lembre a fórmula de partes: \int u\,dv = u v - \int v\,du. Escolhemos u=x e dv=e^{3x}dx. Então du=dx e v=\dfrac{1}{3}e^{3x}. Assim
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C_2.
Multiplicando por -1,
\int -x e^{3x}\,dx = -\frac{1}{3}x e^{3x} + \frac{1}{9}e^{3x} + C_3.

Passo 6

Igualar as duas primitivas (absorvendo constantes numa constante única C). Temos
- y^{-1} - \frac{2}{3}y^{-3} = -\frac{1}{3}x e^{3x} + \frac{1}{9}e^{3x} + C.
Para deixar a expressão mais “limpa”, multiplico por -1 e reorganizo os termos à direita numa forma factorizada:
y^{-1} + \frac{2}{3}y^{-3} = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C',
onde C'=-C é outra constante arbitrária. Fatorando e^{3x} no lado direito e colocando um denominador comum:
y^{-1} + \frac{2}{3}y^{-3} = \frac{e^{3x}}{9}\,(3x - 1) + C'.
Esta é a solução geral em forma implícita. Pode-se deixar assim (é a forma usual). Observação: é possível rearranjar multiplicando por 3y^{3} se quiser uma forma polinomial em y, mas isso não produz uma expressão explícita simples para y(x) em termos elementares.

Passo 7

Comentário final curto e incentivo: pronto — chegamos à solução geral implícita. Em provas, quando a separação de variáveis leva a integrais com potências e exponenciais, a estratégia padrão é exatamente essa: separar, integrar cada lado com as regras de potência e partes, e juntar constants. Você já fez o passo a passo completo; se quiser, posso tentar isolar y explicando as dificuldades (a solução explícita exigiria resolver uma equação cúbica em y em termos de x).

Resposta

\frac{1}{y} + \frac{2}{3y^{3}} = \frac{e^{3x}}{9}\,(3x-1) + C

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