Duas partículas de massas m_{1} e m_{2} se movimentam ao longo de uma mesma linha com velocidades v_{1} e v_{2} respectivamente. Em um determinado instante elas colidem numa colisão completamente inelástica, sobre essa colisão podemos afirmar:
I. A energia cinética das partículas é constante.
II. Após a colisão as partículas se movimentam na mesma direção, mas em sentidos opostos.
III. Nessa colisão o momento linear das partículas é conservado.
IV. Após a colisão as partículas se unem formando um sistema correspondente a uma partícula de massa m=m_{1}+m_{2}, que se movimenta com uma velocidade v=\frac{m_{1} v_{1}+m_{2} v_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
Assinale a alternativa que apresenta APENAS as afirmações corretas.
a) Iell.
b) II e III.
c) III e IV.
d) I e III.

Passo 1

O enunciado dá duas partículas com massas m_{1} e m_{2} que se movem numa mesma reta com velocidades v_{1} e v_{2}. Em um certo instante ocorre uma colisão completamente inelástica (as partículas “grudam”). Precisamos avaliar as afirmações I, II, III e IV dadas e dizer quais são APENAS as corretas. Lista das informações relevantes:
\text{Dados: } m_{1},\; m_{2},\; v_{1},\; v_{2},\text{ colisão completamente inelástica (grudam).}ãá
As afirmações a verificar:
I. A energia cinética é constante.
II. Após a colisão as partículas se movimentam na mesma direção, mas em sentidos opostos.
III. O momento linear das partículas é conservado.
IV. Após a colisão as partículas se unem formando uma massa m=m_{1}+m_{2} que se move com
v=\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}.

Passo 2

Explicando o que significa conservação do momento linear e aplicando ao caso (isso vai checar a afirmação III e derivar a fórmula da afirmação IV).
Conceito: o momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula é p = m v. Para um sistema isolado (sem forças externas resultantes atuando durante a interação), o momento total é conservado: a soma dos momentos antes da colisão é igual à soma depois.
Aqui, antes da colisão o momento total é
p_{\text{inicial}} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}.
Na colisão totalmente inelástica as massas grudam e passam a se mover juntas com uma única velocidade v e massa total m = m_{1}+m_{2}. O momento depois é
p_{\text{final}} = (m_{1}+m_{2})\,v.
Pela conservação do momento (pressuposto válido se não há forças externas importantes no intervalo da colisão), igualamos:
m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = (m_{1}+m_{2})\,v.
Daí isolamos v:
v = \frac{m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
Comentário didático: essa dedução mostra que a afirmação III (momento conservado) é verdadeira para colisões isoladas, e que a fórmula da afirmação IV resulta diretamente dessa conservação.

Passo 3

Agora vamos analisar a energia cinética (afirmação I). Lembrete: a energia cinética de uma partícula é K=\tfrac{1}{2} m v^{2}. A energia cinética total antes é
K_{\text{inicial}} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}.
A energia cinética total depois (as partículas grudadas, massa m_{1}+m_{2} movendo-se com v) é
K_{\text{final}} = \tfrac{1}{2} (m_{1}+m_{2}) v^{2},
com v dado pela fórmula do passo anterior. Vamos calcular a diferença (energia dissipada no choque):
\Delta K \equiv K_{\text{inicial}} - K_{\text{final}}.
Substituindo v e fazendo álgebra (mostro o passo essencial da simplificação): substituir v e utilizar manipulação algébrica padrão leva a
\Delta K = \tfrac{1}{2}\,\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,(v_{1}-v_{2})^{2}.
Explicação do resultado: a fração \dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} é positiva quando m_{1},m_{2}>0 e o quadrado (v_{1}-v_{2})^{2} é não negativo; portanto \Delta K \ge 0. Para uma colisão completamente inelástica, \Delta K>0 sempre que v_{1}\neq v_{2}. Isso significa que parte da energia cinética inicial transforma-se em outras formas (calor, deformação, etc.) — logo, a energia cinética não é conservada em geral. Conclusão: a afirmação I é falsa (energia cinética não é constante numa colisão completamente inelástica, salvo no caso trivial v_{1}=v_{2}).

Passo 4

Analisando a afirmação II: “Após a colisão as partículas se movimentam na mesma direção, mas em sentidos opostos.” Em uma colisão completamente inelástica as partículas grudam e passam a ter uma única velocidade v (igual para ambas). Ter a mesma velocidade significa ter necessariamente o mesmo sentido e a mesma direção (ou ambas com velocidade zero). Não faz sentido físico que, estando grudadas, uma vá para a direita e a outra para a esquerda — elas se movem juntas. Assim a afirmação II é falsa. Observação: o sinal de v pode ser positivo, negativo ou zero dependendo de m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}, mas as duas partes movem-se com esse mesmo v, não em sentidos opostos.

Passo 5

Resumo das verdades:
  • I: falsa (energia cinética não é conservada em colisão completamente inelástica, salvo caso v_{1}=v_{2}).
  • II: falsa (elas grudadas têm a mesma velocidade; não podem ficar em sentidos opostos).
  • III: verdadeira (momento linear é conservado em colisão isolada).
  • IV: verdadeira (resultado direto da conservação do momento, com m=m_{1}+m_{2} e v dado pela fórmula).
Portanto, as afirmações corretas são apenas III e IV, que corresponde à alternativa c).

Resposta

c) III e IV.

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