Uma partícula move-se ao longo do eixo x e está sujeita a uma força F(x) cuja função energia potencial é dada por U(x)=-x^{3}+3 x^{2}+5. Em que pontos, ao longo do eixo x, a força que atua na partícula é igual a zero?
a) x=3 e x=5.
b) x=2 e x=5.
c) x=2 e x=4.
d) x=0 e x=4.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial da partícula ao longo do eixo x:
U(x) = -x^{3} + 3x^{2} + 5.
A pergunta é: em que pontos, ao longo do eixo x, a força que atua na partícula é igual a zero?
Lista das informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão de U(x) acima e que queremos os pontos onde a força vale zero.

Passo 2

Conceito necessário (explicado de modo simples): a força associada a uma energia potencial U(x) é dada pela relação
F(x) = -\frac{dU}{dx}.
Isto significa que a força é o negativo da derivada da energia potencial em relação a x. Intuição curta: onde a curva de U(x) tem inclinação zero (pontos onde a tangente é horizontal), a derivada é zero e, portanto, a força é zero. Vou usar essa relação para achar os pontos pedidos.

Passo 3

Regra de derivação que vou usar (aula rápida): a regra do poder (power rule) diz que
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aplicando isso termo a termo:
  • Para -x^{3}, a derivada é -3x^{2}.
  • Para 3x^{2}, a derivada é 6x.
  • Para a constante 5, a derivada é 0.

Passo 4

Calcular explicitamente a derivada \dfrac{dU}{dx}:
\frac{dU}{dx} = -3x^{2} + 6x.
Posso fatorar esse polinômio para facilitar a solução:
\frac{dU}{dx} = -3x^{2} + 6x = -3x(x-2).

Passo 5

Usando a relação da força, escrevo F(x) e peço F(x)=0:
F(x) = -\frac{dU}{dx} = -\big(-3x^{2}+6x\big) = 3x^{2}-6x = 3x(x-2).
Queremos resolver F(x)=0, isto é,
3x(x-2)=0.

Passo 6

Resolver a equação 3x(x-2)=0. Como 3\neq 0, os fatores dão as soluções:
x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.
Esses são os pontos onde a força é zero. Observação: nenhuma das alternativas a), b), c) ou d) da lista dada corresponde exatamente ao par \,x=0 e x=2.

Resposta

x=0 e x=2 (nenhuma das alternativas dadas).

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