Informações relevantes fornecidas: a função componentes de \mathbf{r}(t) estão dadas explicitamente; todas as derivadas podem ser obtidas componente a componente.
Passo 2
Derivar uma função vetorial é derivar cada componente separadamente. Se
\mathbf{r}(t)=(x(t),\,y(t),\,z(t)),
então
\mathbf{r}'(t)=(x'(t),\,y'(t),\,z'(t))
e
\mathbf{r}''(t)=(x''(t),\,y''(t),\,z''(t)).
Aqui x(t)=\cos(t), y(t)=2\sin(t) e z(t)=4t. Vamos derivar cada uma usando regras básicas:
\dfrac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t).
\dfrac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t).
\dfrac{d}{dt}(at)=a para constante a.
Portanto, calculamos \mathbf{r}'(t):
\mathbf{r}'(t)=(-\sin(t),\,2\cos(t),\,4).
Passo 3
Avaliar \mathbf{r}'(t) em t=0. Substituindo \sin(0)=0 e \cos(0)=1,