Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais
\mathbf{r}_{1}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right) \quad \text { e } \quad \mathbf{r}_{2}(t)=(1+2 t, 1+6 t, 1+14 t)
Se
\mathbf{r}(t)=(\cos (t), 2 \sin (t), 4 t)
calcule \mathbf{r}^{\prime}(0) e \mathbf{r}^{\prime \prime}(0). Em seguida, calcule
\frac{\left|\mathbf{r}^{\prime}(0) \times \mathbf{r}^{\prime \prime}(0)\right|}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(0)\right|^{3}}

Passo 1

O enunciado nos dá a curva vetorial
\mathbf{r}(t)=(\cos(t),\,2\sin(t),\,4t).
Pede-se:
  • Calcular \mathbf{r}'(0).
  • Calcular \mathbf{r}''(0).
  • Calcular a quantidade
\frac{\left|\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0)\right|}{\left|\mathbf{r}'(0)\right|^{3}}.
Informações relevantes fornecidas: a função componentes de \mathbf{r}(t) estão dadas explicitamente; todas as derivadas podem ser obtidas componente a componente.

Passo 2

Derivar uma função vetorial é derivar cada componente separadamente. Se
\mathbf{r}(t)=(x(t),\,y(t),\,z(t)),
então
\mathbf{r}'(t)=(x'(t),\,y'(t),\,z'(t))
e
\mathbf{r}''(t)=(x''(t),\,y''(t),\,z''(t)).
Aqui x(t)=\cos(t), y(t)=2\sin(t) e z(t)=4t. Vamos derivar cada uma usando regras básicas:
  • \dfrac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t).
  • \dfrac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t).
  • \dfrac{d}{dt}(at)=a para constante a.
Portanto, calculamos \mathbf{r}'(t):
\mathbf{r}'(t)=(-\sin(t),\,2\cos(t),\,4).

Passo 3

Avaliar \mathbf{r}'(t) em t=0. Substituindo \sin(0)=0 e \cos(0)=1,
\mathbf{r}'(0)=(-\sin(0),\,2\cos(0),\,4)=(0,\,2,\,4).

Passo 4

Agora obter \mathbf{r}''(t) derivando \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente:
  • Derivada de -\sin(t) é -\cos(t).
  • Derivada de 2\cos(t) é -2\sin(t).
  • Derivada de 4 é 0.
Logo
\mathbf{r}''(t)=(-\cos(t),\,-2\sin(t),\,0).

Passo 5

Avaliar \mathbf{r}''(t) em t=0. Usando \cos(0)=1 e \sin(0)=0,
\mathbf{r}''(0)=(-1,\,0,\,0).

Passo 6

Para calcular a quantidade pedida usamos a fórmula do produto vetorial em componentes. Se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1).
Tomando \mathbf{a}=\mathbf{r}'(0)=(0,2,4) e \mathbf{b}=\mathbf{r}''(0)=(-1,0,0), obtemos componente a componente:
\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0)=\big(2\cdot 0-4\cdot 0,\;4\cdot(-1)-0\cdot 0,\;0\cdot 0-2\cdot(-1)\big)=(0,\,-4,\,2).

Passo 7

Calcular as normas (comprimentos) necessárias. A norma de um vetor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\left|\mathbf{v}\right|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}}.
Primeiro a norma do produto vetorial:
\left|\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0)\right|=\sqrt{0^{2}+(-4)^{2}+2^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Agora a norma de \mathbf{r}'(0):
\left|\mathbf{r}'(0)\right|=\sqrt{0^{2}+2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 8

Calcular a razão pedida:
\frac{\left|\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0)\right|}{\left|\mathbf{r}'(0)\right|^{3}}=\frac{2\sqrt{5}}{(2\sqrt{5})^{3}}.
Calculemos o denominador: (2\sqrt{5})^{3}=8\cdot(\sqrt{5})^{3}=8\cdot 5\sqrt{5}=40\sqrt{5}. Então
\frac{2\sqrt{5}}{40\sqrt{5}}=\frac{2}{40}=\frac{1}{20}.

Resposta

\mathbf{r}'(0)=(0,\,2,\,4)
\mathbf{r}''(0)=(-1,\,0,\,0)
\dfrac{\left|\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0)\right|}{\left|\mathbf{r}'(0)\right|^{3}}=\dfrac{1}{20}

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