Uma partícula que se move ao longo de uma curva \mathbf{r}(t) satisfaz
\mathbf{r}^{\prime \prime}(t)=(5,6 t, 8+4 \sin (2 t)) .
Sabendo que
\mathbf{r}(0)=(8,1,2) \quad \text { e } \quad \mathbf{r}^{\prime}(0)=(7,0,3),
determine \mathbf{r}(\pi).

Passo 1

O enunciado dá a segunda derivada da posição (aceleração) da partícula e condições iniciais. Informações fornecidas:
\mathbf{r}''(t) = (5,\;6t,\;8+4\sin(2t))
\mathbf{r}(0)=(8,1,2)
\mathbf{r}'(0)=(7,0,3)
O que é pedido: determinar \mathbf{r}(\pi).

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): \mathbf{r}''(t) é a derivada de \mathbf{r}'(t). Para obter \mathbf{r}'(t) temos que integrar componente a componente \mathbf{r}''(t) em relação a t. Regras básicas de integração usadas aqui:
  • \displaystyle \int a\,dt = a t + C para constante a.
  • \displaystyle \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
  • \displaystyle \int \sin(k t)\,dt = -\frac{1}{k}\cos(k t)+C.
    Cada componente da aceleração é integrada separadamente e cada uma gera uma constante de integração diferente (uma para cada componente de \mathbf{r}'(t)).
Integramos então \mathbf{r}''(t) componente a componente:
\begin{aligned} \text{1ª componente: }& \int 5\,dt = 5t + C_1,\\[4pt] \text{2ª componente: }& \int 6t\,dt = 3t^2 + C_2,\\[4pt] \text{3ª componente: }& \int \big(8+4\sin(2t)\big)\,dt = \int 8\,dt + 4\int \sin(2t)\,dt. \end{aligned}ªªª
Usando \int \sin(2t)\,dt = -\tfrac{1}{2}\cos(2t) temos
\int \big(8+4\sin(2t)\big)\,dt = 8t + 4\left(-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\right) + C_3 = 8t -2\cos(2t) + C_3.
Logo a forma geral de \mathbf{r}'(t) é
\mathbf{r}'(t)=\big(5t+C_1,\;3t^2+C_2,\;8t-2\cos(2t)+C_3\big).]

Passo 3

Determinar C_1,C_2,C_3 usando a condição inicial \mathbf{r}'(0)=(7,0,3). Avaliando \mathbf{r}'(t) em t=0:
\mathbf{r}'(0)=\big(C_1,\;C_2,\;-2\cos(0)+C_3\big)=\big(C_1,\;C_2,\; -2\cdot 1 + C_3\big)=\big(C_1,\;C_2,\;C_3-2\big).
Igualando às componentes dadas:
C_1=7,\quad C_2=0,\quad C_3-2=3 \Rightarrow C_3=5.
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\big(5t+7,\;3t^2,\;8t-2\cos(2t)+5\big).

Passo 4

Agora integramos \mathbf{r}'(t) para obter \mathbf{r}(t). Novamente fazemos componente a componente e introduzimos novas constantes de integração (uma por componente da posição).
Regras usadas (recapitulando): \int t\,dt=\tfrac{t^2}{2}, \int t^2 dt=\tfrac{t^3}{3}, \int \cos(2t)\,dt=\tfrac{1}{2}\sin(2t).
Integração das componentes:
\begin{aligned} \text{1ª componente: }& \int (5t+7)\,dt = \frac{5}{2}t^2+7t + D_1,\\[4pt] \text{2ª componente: }& \int 3t^2\,dt = t^3 + D_2,\\[4pt] \text{3ª componente: }& \int \big(8t-2\cos(2t)+5\big)\,dt = 4t^2 - \sin(2t) + 5t + D_3. \end{aligned}ªªª
Assim a forma geral é
\mathbf{r}(t)=\Big(\tfrac{5}{2}t^2+7t+D_1,\;t^3+D_2,\;4t^2-\sin(2t)+5t+D_3\Big).]

Passo 5

Determinar D_1,D_2,D_3 usando \mathbf{r}(0)=(8,1,2). Avaliando em t=0:
\mathbf{r}(0)=\big(D_1,\;D_2,\;D_3\big)=(8,1,2).
Logo
D_1=8,\quad D_2=1,\quad D_3=2.
Portanto a posição para todo t é
\mathbf{r}(t)=\Big(\tfrac{5}{2}t^2+7t+8,\;t^3+1,\;4t^2-\sin(2t)+5t+2\Big).

Passo 6

Calcular \mathbf{r}(\pi) substituindo t=\pi. Lembre que \sin(2\pi)=0. Assim:
\begin{aligned} \text{1ª componente: }& \tfrac{5}{2}\pi^2 + 7\pi + 8,\\[4pt] \text{2ª componente: }& \pi^3 + 1,\\[4pt] \text{3ª componente: }& 4\pi^2 + 5\pi + 2. \end{aligned}ªªª
Portanto
\mathbf{r}(\pi)=\Big(\tfrac{5}{2}\pi^2+7\pi+8,\;\pi^3+1,\;4\pi^2+5\pi+2\Big).]

Resposta

\mathbf{r}(\pi)=\left(\dfrac{5}{2}\pi^{2}+7\pi+8,\;\pi^{3}+1,\;4\pi^{2}+5\pi+2\right)

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