Uma partícula que se move ao longo de uma curva
satisfaz
Sabendo que
determine
.
Passo 1
O enunciado dá a segunda derivada da posição (aceleração) da partícula e condições iniciais. Informações fornecidas:
O que é pedido: determinar
.
Passo 2
Ideia chave (explicação didática):
é a derivada de
. Para obter
temos que integrar componente a componente
em relação a
. Regras básicas de integração usadas aqui:
-
para constante . -
. -
.
Cada componente da aceleração é integrada separadamente e cada uma gera uma constante de integração diferente (uma para cada componente de).
Integramos então
componente a componente:
Usando
temos
Logo a forma geral de
é
Passo 3
Determinar
usando a condição inicial
. Avaliando
em
:
Igualando às componentes dadas:
Portanto
Passo 4
Agora integramos
para obter
. Novamente fazemos componente a componente e introduzimos novas constantes de integração (uma por componente da posição).
Regras usadas (recapitulando): ,
,
.
Regras usadas (recapitulando):
Integração das componentes:
Assim a forma geral é
Passo 5
Determinar
usando
. Avaliando em
:
Logo
Portanto a posição para todo
é
Passo 6
Calcular
substituindo
. Lembre que
. Assim:
Portanto