Determine uma parametrização para a interseção da superfície
com o cilindro elíptico
Passo 1
O enunciado dá duas equações e pede uma parametrização da curva que é a interseção entre elas. As informações relevantes são:
- A superfície:
- O cilindro elíptico:
O que se pede: encontrar uma função vetorial
(ou as funções
) que descreva todos os pontos
que satisfazem simultaneamente as duas equações. Não foi pedido um intervalo exato, mas deve-se especificar um intervalo de parâmetro que percorra toda a curva (normalmente
).
Passo 2
Escolha do método: o cilindro elíptico tem a forma padrão de uma elipse no plano
com centro e semi-eixos conhecidos. Uma forma muito utilizada e simples para parametrizar uma elipse dada por
é usar funções trigonométricas:
com
. Explicando por que isso funciona: ao substituir essas expressões na equação da elipse obtém-se
que satisfaz a equação da elipse para todo
. Aqui
é a identidade trigonométrica básica.
Passo 3
Aplicando esse método à elipse do enunciado: comparar
com a forma padrão. O centro é
, o semi-eixo em
é
(pois
) e o semi-eixo em
é
(pois
). Logo uma parametrização do par
que percorre a elipse é
Verificação rápida (para ficar seguro): substituir na equação do cilindro:
portanto essas
satisfazem a equação do cilindro para todo
.
Passo 4
Agora obter
: como a curva é a interseção das duas superfícies, o valor de
em cada ponto da curva deve ser o dado por
. Então substitui-se as expressões de
e
em
. Isso dá
Observação didática: é importante notar que as funções trigonométricas na definição de
recebem os valores
e
em radianos (a menos que o contexto diga o contrário). Não há mais simplificação algébrica prática de
e
, então mantemos essa forma.
Passo 5
Juntando tudo em forma vetorial, a parametrização completa da curva de interseção é
com
. Essa expressão percorre toda a curva uma vez quando
varia em
. Pode-se também estender
para todos os reais se quiser uma parametrização periódica.