Determine uma parametrização para a interseção da superfície
z=\sin (x)+\sin (y)
com o cilindro elíptico
\frac{(x+5)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{16}=1

Passo 1

O enunciado dá duas equações e pede uma parametrização da curva que é a interseção entre elas. As informações relevantes são:
  • A superfície: z=\sin(x)+\sin(y).
  • O cilindro elíptico: \frac{(x+5)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{16}=1.
O que se pede: encontrar uma função vetorial \mathbf{r}(t) (ou as funções x(t),y(t),z(t)) que descreva todos os pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as duas equações. Não foi pedido um intervalo exato, mas deve-se especificar um intervalo de parâmetro que percorra toda a curva (normalmente t\in[0,2\pi)).

Passo 2

Escolha do método: o cilindro elíptico tem a forma padrão de uma elipse no plano xy com centro e semi-eixos conhecidos. Uma forma muito utilizada e simples para parametrizar uma elipse dada por
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1
é usar funções trigonométricas:
x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t,
com t\in[0,2\pi). Explicando por que isso funciona: ao substituir essas expressões na equação da elipse obtém-se
\frac{(h+a\cos t-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(k+b\sin t-k)^{2}}{b^{2}} =\frac{a^{2}\cos^{2}t}{a^{2}}+\frac{b^{2}\sin^{2}t}{b^{2}}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
que satisfaz a equação da elipse para todo t. Aqui \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 é a identidade trigonométrica básica.

Passo 3

Aplicando esse método à elipse do enunciado: comparar
\frac{(x+5)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{16}=1
com a forma padrão. O centro é (h,k)=(-5,1), o semi-eixo em x é a=3 (pois 9=a^{2}) e o semi-eixo em y é b=4 (pois 16=b^{2}). Logo uma parametrização do par (x,y) que percorre a elipse é
x(t)=-5+3\cos t,\qquad y(t)=1+4\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Verificação rápida (para ficar seguro): substituir na equação do cilindro:
\frac{(x(t)+5)^{2}}{9}+\frac{(y(t)-1)^{2}}{16} =\frac{(3\cos t)^{2}}{9}+\frac{(4\sin t)^{2}}{16} =\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
portanto essas x(t),y(t) satisfazem a equação do cilindro para todo t.

Passo 4

Agora obter z(t): como a curva é a interseção das duas superfícies, o valor de z em cada ponto da curva deve ser o dado por \sin(x)+\sin(y). Então substitui-se as expressões de x(t) e y(t) em z=\sin(x)+\sin(y). Isso dá
z(t)=\sin\bigl(x(t)\bigr)+\sin\bigl(y(t)\bigr) =\sin\bigl(-5+3\cos t\bigr)+\sin\bigl(1+4\sin t\bigr).
Observação didática: é importante notar que as funções trigonométricas na definição de z recebem os valores x(t) e y(t) em radianos (a menos que o contexto diga o contrário). Não há mais simplificação algébrica prática de \sin(-5+3\cos t) e \sin(1+4\sin t), então mantemos essa forma.

Passo 5

Juntando tudo em forma vetorial, a parametrização completa da curva de interseção é
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr) =\bigl(-5+3\cos t,\;1+4\sin t,\;\sin(-5+3\cos t)+\sin(1+4\sin t)\bigr),
com t\in[0,2\pi). Essa expressão percorre toda a curva uma vez quando t varia em [0,2\pi). Pode-se também estender t para todos os reais se quiser uma parametrização periódica.

Resposta

\begin{cases} x(t)=-5+3\cos t,\\[4pt] y(t)=1+4\sin t,\\[4pt] z(t)=\sin\bigl(-5+3\cos t\bigr)+\sin\bigl(1+4\sin t\bigr), \end{cases}\qquad t\in[0,2\pi).]

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