Duas partículas se movem ao longo das curvas planas
r_{1}(t)=\left(t+2, t^{2}+4 t+4\right) \quad \text { e } \quad r_{2}(t)=\left(\frac{1+3 t}{2}, \frac{-13+21 t}{2}\right)
para t \geq 0.
(a) Em que dois pontos as trajetórias das partículas se interceptam?
(b) Em que ponto as partículas colidem (se ocorrer)?

Passo 1

O enunciado dá duas trajetórias paramétricas para t\ge 0:
r_{1}(t)=\bigl(t+2,\;t^{2}+4t+4\bigr)
r_{2}(t)=\Bigl(\dfrac{1+3t}{2},\;\dfrac{-13+21t}{2}\Bigr)
As perguntas são:
  1. (a) Em que dois pontos as trajetórias (isto é, os conjuntos de pontos descritos por cada curva, independente do tempo) se interceptam?
  2. (b) Em que ponto as partículas colidem, isto é, existe algum t\ge 0 tal que r_{1}(t)=r_{2}(t)?
    Listei também as informações relevantes: ambas as curvas são definidas para t\ge 0; r_{1} é uma curva quadrática (parábola) e r_{2} é uma reta paramétrica.

Passo 2

Vou explicar a diferença prática entre “interseção de trajetórias” e “colisão”:
  • Interseção de trajetórias: existe algum s\ge 0 e algum t\ge 0 (pode ser distintos) tais que r_{1}(s)=r_{2}(t). Aqui permitimos tempos diferentes para cada partícula.
  • Colisão: existe um mesmo instante t\ge 0 tal que r_{1}(t)=r_{2}(t). Os dois parâmetros são o mesmo tempo.
Para encontrar interseções resolvemos o sistema vetorial com parâmetros distintos; para colisão resolvemos com o mesmo parâmetro.

Passo 3

Primeiro simplifico r_{1} para ver sua forma geométrica. Note que
t^{2}+4t+4=(t+2)^{2}.
Logo, se eu chamar u=t+2 (observe que u\ge 2 pois t\ge 0), os pontos de r_{1} são
(x,y)=(u,\;u^{2}),\quad u\ge 2,
ou seja, r_{1} é a parábola y=x^{2} restrita a x\ge 2.
Para r_{2} escrevo as coordenadas explicitamente:
x=\dfrac{1+3t}{2},\qquad y=\dfrac{-13+21t}{2}.
Essa é uma reta parametrizada (uma função linear de t).

Passo 4

Agora encontro as interseções (parâmetros distintos). Quero r_{1}(s)=r_{2}(t) para algum s\ge 0,\;t\ge 0. Usando a notação u=s+2 (então u\ge 2) temos u=\dfrac{1+3t}{2}. Isolo t em função de u:
1+3t=2u\quad\Rightarrow\quad 3t=2u-1\quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{2u-1}{3}.
Substituo na coordenada y. Como r_{1} y=u^{2}, a igualdade das segundas coordenadas pede
u^{2}=\dfrac{-13+21t}{2}.
Substituo t=\dfrac{2u-1}{3} no lado direito:
\dfrac{-13+21\left(\dfrac{2u-1}{3}\right)}{2} = \dfrac{-13 + 7(2u-1)}{2} = \dfrac{-13 +14u -7}{2} = \dfrac{14u-20}{2} =7u-10.
Portanto a equação para u é
u^{2}=7u-10.
Coloco em forma padrão:
u^{2}-7u+10=0.
Resolvo a quadrática (fatorando):
u^{2}-7u+10=(u-5)(u-2)=0,
logo
u=5\quad\text{ou}\quad u=2.
Lembro que u=s+2 e exigimos s\ge 0\Rightarrow u\ge 2; ambas soluções são admissíveis. Agora obtenho os parâmetros correspondentes:
  • Para u=2: s=u-2=0 e t=\dfrac{2u-1}{3}=\dfrac{4-1}{3}=1.
  • Para u=5: s=3 e t=\dfrac{10-1}{3}=3.
Agora obtenho os pontos (usando (x,y)=(u,u^{2})):
  • Para u=2: ponto \bigl(2,\;4\bigr).
  • Para u=5: ponto \bigl(5,\;25\bigr).
Conferência rápida: os valores de t obtidos são 1 e 3, ambos \ge 0, logo são interseções válidas das trajetórias.

Passo 5

Agora verifico colisão (mesmo t para ambas). Resolvo r_{1}(t)=r_{2}(t) com mesmo parâmetro t\ge 0. Igualo a primeira coordenada:
t+2=\dfrac{1+3t}{2}.
Multiplico por 2:
2t+4=1+3t.
Isolo t:
4-1=3t-2t\quad\Rightarrow\quad 3=t.
Tenho t=3 (que é \ge 0, bom). Agora verifico a segunda coordenada para confirmar:
r_{1}\text{ em }t=3:\quad y=3^{2}+4\cdot 3+4=9+12+4=25.
r_{2}\text{ em }t=3:\quad y=\dfrac{-13+21\cdot 3}{2}=\dfrac{-13+63}{2}=\dfrac{50}{2}=25.
As segundas coordenadas coincidem, então realmente r_{1}(3)=r_{2}(3)=\bigl(5,\;25\bigr). Logo há colisão no instante t=3 no ponto \bigl(5,\;25\bigr).
Observação didática rápida: das duas interseções encontradas em

Resposta

(a) \bigl(2,\;4\bigr) e \bigl(5,\;25\bigr)
(b) As partículas colidem em \bigl(5,\;25\bigr) (no instante t=3).

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