Duas partículas se movem ao longo das curvas planas
para
.
(a) Em que dois pontos as trajetórias das partículas se interceptam?
(b) Em que ponto as partículas colidem (se ocorrer)?
(a) Em que dois pontos as trajetórias das partículas se interceptam?
(b) Em que ponto as partículas colidem (se ocorrer)?
Passo 1
O enunciado dá duas trajetórias paramétricas para
:
As perguntas são:
- (a) Em que dois pontos as trajetórias (isto é, os conjuntos de pontos descritos por cada curva, independente do tempo) se interceptam?
- (b) Em que ponto as partículas colidem, isto é, existe algum
tal que ?
Listei também as informações relevantes: ambas as curvas são definidas para; é uma curva quadrática (parábola) e é uma reta paramétrica.
Passo 2
Vou explicar a diferença prática entre “interseção de trajetórias” e “colisão”:
- Interseção de trajetórias: existe algum
e algum (pode ser distintos) tais que . Aqui permitimos tempos diferentes para cada partícula. - Colisão: existe um mesmo instante
tal que . Os dois parâmetros são o mesmo tempo.
Para encontrar interseções resolvemos o sistema vetorial com parâmetros distintos; para colisão resolvemos com o mesmo parâmetro.
Passo 3
Primeiro simplifico
para ver sua forma geométrica. Note que
Logo, se eu chamar
(observe que
pois
), os pontos de
são
ou seja,
é a parábola
restrita a
.
Para
escrevo as coordenadas explicitamente:
Essa é uma reta parametrizada (uma função linear de
).
Passo 4
Agora encontro as interseções (parâmetros distintos). Quero
para algum
. Usando a notação
(então
) temos
. Isolo
em função de
:
Substituo na coordenada
. Como
dá
, a igualdade das segundas coordenadas pede
Substituo
no lado direito:
Portanto a equação para
é
Coloco em forma padrão:
Resolvo a quadrática (fatorando):
logo
Lembro que
e exigimos
; ambas soluções são admissíveis. Agora obtenho os parâmetros correspondentes:
- Para
: e . - Para
: e .
Agora obtenho os pontos (usando
):
- Para
: ponto . - Para
: ponto .
Conferência rápida: os valores de
obtidos são
e
, ambos
, logo são interseções válidas das trajetórias.
Passo 5
Agora verifico colisão (mesmo
para ambas). Resolvo
com mesmo parâmetro
. Igualo a primeira coordenada:
Multiplico por
:
Isolo
:
Tenho
(que é
, bom). Agora verifico a segunda coordenada para confirmar:
As segundas coordenadas coincidem, então realmente
. Logo há colisão no instante
no ponto
.
Observação didática rápida: das duas interseções encontradas em
Resposta
(a)
e
(b) As partículas colidem em (no instante
).
(b) As partículas colidem em