Encontre o Domínio das seguintes funções
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-27}}{10-x}

Passo 1

O que nos pedem: encontrar o domínio da função \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-27}}{10-x}.
Informações dadas e condições implícitas no enunciado:
\displaystyle a função envolve uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}-27} e uma divisão por 10-x.
Pergunta a responder: para quais valores de x a expressão que define f(x) está bem definida (isto é, quais x pertencem ao domínio)?

Passo 2

Condição 1 — radicando não pode ser negativo: sempre que há \sqrt{\cdot} em funções reais, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Portanto exigimos
x^{2}-27 \ge 0.
Vou resolver essa desigualdade passo a passo. Primeiro isolamos:
x^{2}\ge 27.
Tirar raiz quadrada de ambos os lados (lembrando que isso dá condição em módulo) resulta em
|x|\ge \sqrt{27}.
Simplificando \sqrt{27}: \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}. Assim a desigualdade em termos de x fica
x\le -3\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad x\ge 3\sqrt{3}.
Em notação de intervalos, a condição do radicando dá
(-\infty,-3\sqrt{3}] \cup [3\sqrt{3},\infty).
(Observação numérica: 3\sqrt{3}\approx 5,196, só para intuir onde ficam os pontos.)

Passo 3

Condição 2 — denominador não pode ser zero: para a divisão \dfrac{\sqrt{x^{2}-27}}{10-x} ser válida, é necessário
10-x \neq 0,
ou seja
x \neq 10.

Passo 4

Combinar as duas condições: o domínio deve conter apenas os x que satisfazem a condição do radicando (Passo 2) e, ao mesmo tempo, não podem ser x=10 (Passo 3). Assim tomamos a interseção do conjunto do Passo 2 com o conjunto \mathbb{R}\setminus\{10\}.
Como 10>3\sqrt{3}, o ponto x=10 pertence ao intervalo [3\sqrt{3},\infty), então precisamos retirar 10 dessa parte. Portanto o domínio final em forma de união de intervalos é
(-\infty,-3\sqrt{3}] \cup [3\sqrt{3},10)\cup(10,\infty).

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=(-\infty,-3\sqrt{3}] \cup [3\sqrt{3},10)\cup(10,\infty)

Exercícios relacionados