Resolva a inequação -x^{2}+3 x+4>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação -x^{2}+3x+4>0.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A expressão é um polinômio quadrático em x.
  • Queremos o conjunto de todos os números reais x que tornam a desigualdade verdadeira.
  • Não há restrições adicionais (domínio padrão: todos os reais).

Passo 2

Vamos simplificar a inequação para uma forma mais fácil de analisar. Multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por -1 é permitido, mas isso inverte o sinal da desigualdade. Aplicando isso a -x^{2}+3x+4>0 obtemos:
x^{2}-3x-4<0
Explicação didática: ao multiplicar por -1 trocamos > por <. Agora trabalhamos com uma parábola com coeficiente principal positivo ( a=1), o que facilita a análise de sinais.

Passo 3

Para saber onde x^{2}-3x-4<0, primeiro encontramos as raízes da equação associada x^{2}-3x-4=0. Podemos tentar fatorar: precisamos de dois números cujo produto seja -4 e cuja soma seja -3. Esses números são -4 e 1. Assim:
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).
As raízes (zeros) são os valores que anulam cada fator:
x-4=0 \Rightarrow x=4,\qquad x+1=0 \Rightarrow x=-1.

Passo 4

Agora fazemos a análise de sinal da função quadrática f(x)=x^{2}-3x-4. Conceito usado: para uma parábola com coeficiente principal a>0 (abre para cima), a parábola fica abaixo do eixo x (isto é, f(x)<0) entre as raízes reais, e acima do eixo fora desse intervalo. Como a=1>0 e as raízes são -1 e 4, a desigualdade x^{2}-3x-4<0 é satisfeita para x entre essas raízes, isto é, para -1<x<4.
Intuição rápida: pense no gráfico da parábola — ela corta o eixo x em -1 e 4 e fica abaixo do eixo entre esses pontos.

Passo 5

Como a desigualdade original era estrita ( > ou, após multiplicar, <), os pontos onde a expressão é zero não pertencem à solução. Podemos conferir com um teste rápido: para x=0, a expressão original vale -0^{2}+3\cdot0+4=4>0, logo 0 está na solução; e 0 pertence ao intervalo (-1,4), consistente com nossa conclusão.

Resposta

(-1,4)

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