Resolva a inequação
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A expressão é um polinômio quadrático em
. - Queremos o conjunto de todos os números reais
que tornam a desigualdade verdadeira. - Não há restrições adicionais (domínio padrão: todos os reais).
Passo 2
Vamos simplificar a inequação para uma forma mais fácil de analisar. Multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por
é permitido, mas isso inverte o sinal da desigualdade. Aplicando isso a
obtemos:
Explicação didática: ao multiplicar por
trocamos
por
. Agora trabalhamos com uma parábola com coeficiente principal positivo (
), o que facilita a análise de sinais.
Passo 3
Para saber onde
, primeiro encontramos as raízes da equação associada
. Podemos tentar fatorar: precisamos de dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Assim:
As raízes (zeros) são os valores que anulam cada fator:
Passo 4
Agora fazemos a análise de sinal da função quadrática
. Conceito usado: para uma parábola com coeficiente principal
(abre para cima), a parábola fica abaixo do eixo
(isto é,
) entre as raízes reais, e acima do eixo fora desse intervalo. Como
e as raízes são
e
, a desigualdade
é satisfeita para
entre essas raízes, isto é, para
.
Intuição rápida: pense no gráfico da parábola — ela corta o eixo
em
e
e fica abaixo do eixo entre esses pontos.
Passo 5
Como a desigualdade original era estrita (
ou, após multiplicar,
), os pontos onde a expressão é zero não pertencem à solução. Podemos conferir com um teste rápido: para
, a expressão original vale
, logo
está na solução; e
pertence ao intervalo
, consistente com nossa conclusão.