Duas partículas que se movem sob a influência de sua força gravitacional mútua descrevem órbitas circulares em torno uma da outra com um período
. Se elas forem subitamente paradas em suas órbitas e deixadas para gravitar em direção uma da outra, demonstre que elas colidirão após um tempo
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração do tempo de colisão:
- Temos duas partículas de massas
e que se atraem pela gravidade mútua. - Elas descrevem órbitas circulares uma em torno da outra com período
. - Em certo instante elas são subitamente paradas (suas velocidades tangenciais anuladas) mantendo a separação
entre elas, e então são deixadas livres para cair uma sobre a outra sob a ação da gravidade. - A pergunta: demonstrar que o tempo que leva para colidirem é
.
Informações relevantes extraídas do enunciado que usaremos:
- A separação inicial entre as partículas na órbita circular é
. - O período orbital circular é
. - Constante gravitacional
aparece na força entre as partículas.
Passo 2
Redução do problema de duas massas para um problema efetivo de uma massa: explicação e definição de variáveis.
- É padrão na mecânica newtoniana reduzir o problema de duas massas interagindo gravitacionalmente ao problema de uma partícula de massa reduzida
movendo-se sob o potencial gerado pela massa total . - Definimos
- A coordenada relevante é a distância entre as partículas
; para a órbita circular inicial temos . - A dinâmica radial efetiva (após eliminar o movimento do centro de massa) obedece à equação
onde o lado direito vem da força gravitacional por unidade de massa reduzida. Vou usar essa formulação porque ela simplifica muito a análise — é equivalente a uma partícula de massa
caindo na direção radial sobre uma massa
fixa.
Passo 3
Relacionar o período
da órbita circular com
e
(obtendo a frequência angular
).
- Para uma órbita circular relativa de raio
a força centrípeta é fornecida pela gravitação. A condição de equilíbrio centrípeto é
- Cancelando
e nos dois lados, obtemos a relação clássica (mesma que para um corpo de massa desprezível orbitando massa ):
- A relação entre período
e é
- Portanto isolamos
Passo 4
Condição inicial e equação de movimento após “parar” as partículas.
- No instante em que são paradas as velocidades tangenciais são anuladas, logo o movimento subsequente é puramente radial com velocidade inicial
e posição inicial . - A equação de movimento radial (já indicada) é
- Em problemas de queda radial é muito conveniente usar conservação de energia (porque a força é conservativa). Vou aplicar conservação da energia mecânica por unidade de massa reduzida.
Passo 5
Energia e expressão para
em função de
.
- A energia específica (energia por unidade de
) é
- No instante inicial
temos e , logo
- Igualando as expressões para
obtemos
- Isolando
e lembrando que é negativo (r diminui), temos
Passo 6
Separação de variáveis e integral do tempo de queda de
até
.
- Separamos variáveis:
- O tempo de colisão
é a integral de para de até :
- Essa integral pode ser resolvida por uma substituição trigonométrica conveniente; vou usar a substituição clássica
.
Passo 7
Substituição
e transformação da integral.
- Definimos
. Quando temos . Quando temos . - Calculamos
:
- Avaliamos o integrando:
- Então a raiz do denominador fica
- Substituindo tudo na integral para
:
Passo 8
Simplificação da integral e cálculo explícito.
- Simplificamos o integrando usando
e :
- O sinal menos é compensado pela troca dos limites (já usamos limites
com a forma positiva), então obtemos
- Fatorando fora da integral:
- Simplificamos o fator:
- E a integral conhecida é
- Portanto
Passo 9
Expressar
em termos do período orbital
e simplificar.
- Recordando da Passo 3 que
substituímos na expressão de
:
- Simplificando
e os fatores:
- Reescrevendo
(porque ), obtemos finalmente