Duas partículas que se movem sob a influência de sua força gravitacional mútua descrevem órbitas circulares em torno uma da outra com um período \tau. Se elas forem subitamente paradas em suas órbitas e deixadas para gravitar em direção uma da outra, demonstre que elas colidirão após um tempo \tau / 4 \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração do tempo de colisão:
  • Temos duas partículas de massas m_1 e m_2 que se atraem pela gravidade mútua.
  • Elas descrevem órbitas circulares uma em torno da outra com período \tau.
  • Em certo instante elas são subitamente paradas (suas velocidades tangenciais anuladas) mantendo a separação R entre elas, e então são deixadas livres para cair uma sobre a outra sob a ação da gravidade.
  • A pergunta: demonstrar que o tempo que leva para colidirem é \tau/(4\sqrt{2}).
Informações relevantes extraídas do enunciado que usaremos:
  • A separação inicial entre as partículas na órbita circular é R.
  • O período orbital circular é \tau.
  • Constante gravitacional G aparece na força entre as partículas.

Passo 2

Redução do problema de duas massas para um problema efetivo de uma massa: explicação e definição de variáveis.
  • É padrão na mecânica newtoniana reduzir o problema de duas massas interagindo gravitacionalmente ao problema de uma partícula de massa reduzida \mu movendo-se sob o potencial gerado pela massa total M.
  • Definimos
\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}, \qquad M=m_1+m_2.
  • A coordenada relevante é a distância entre as partículas r(t); para a órbita circular inicial temos r(0)=R.
  • A dinâmica radial efetiva (após eliminar o movimento do centro de massa) obedece à equação
\ddot r = -\frac{G M}{r^2},
onde o lado direito vem da força gravitacional por unidade de massa reduzida. Vou usar essa formulação porque ela simplifica muito a análise — é equivalente a uma partícula de massa \mu caindo na direção radial sobre uma massa M fixa.

Passo 3

Relacionar o período \tau da órbita circular com R e M (obtendo a frequência angular \omega).
  • Para uma órbita circular relativa de raio R a força centrípeta é fornecida pela gravitação. A condição de equilíbrio centrípeto é
\mu \omega^2 R = \frac{G m_1 m_2}{R^2}.
  • Cancelando \mu=\dfrac{m_1 m_2}{M} e m_1 m_2 nos dois lados, obtemos a relação clássica (mesma que para um corpo de massa desprezível orbitando massa M):
\omega^2=\frac{G M}{R^3}.
  • A relação entre período \tau e \omega é
\tau=\frac{2\pi}{\omega}.
  • Portanto isolamos
\sqrt{\frac{R^3}{G M}}=\frac{\tau}{2\pi}.

Passo 4

Condição inicial e equação de movimento após “parar” as partículas.
  • No instante em que são paradas as velocidades tangenciais são anuladas, logo o movimento subsequente é puramente radial com velocidade inicial \dot r(0)=0 e posição inicial r(0)=R.
  • A equação de movimento radial (já indicada) é
\ddot r = -\frac{G M}{r^2}.
  • Em problemas de queda radial é muito conveniente usar conservação de energia (porque a força é conservativa). Vou aplicar conservação da energia mecânica por unidade de massa reduzida.

Passo 5

Energia e expressão para \dot r em função de r.
  • A energia específica (energia por unidade de \mu) é
E=\frac{1}{2}\dot r^{\,2}-\frac{G M}{r}.
  • No instante inicial t=0 temos \dot r(0)=0 e r(0)=R, logo
E=-\frac{G M}{R}.
  • Igualando as expressões para E obtemos
\frac{1}{2}\dot r^{\,2}-\frac{G M}{r}=-\frac{G M}{R}.
  • Isolando \dot r e lembrando que \dot r é negativo (r diminui), temos
\dot r = -\sqrt{2 G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)}.

Passo 6

Separação de variáveis e integral do tempo de queda de R até 0.
  • Separamos variáveis:
dt = -\frac{dr}{\sqrt{2 G M\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R}\right)}}.
  • O tempo de colisão T é a integral de t para r de R até 0:
T=\int_{0}^{T} dt = \int_{R}^{0} -\frac{dr}{\sqrt{2 G M\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R}\right)}} = \int_{0}^{R}\frac{dr}{\sqrt{2 G M\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R}\right)}}.
  • Essa integral pode ser resolvida por uma substituição trigonométrica conveniente; vou usar a substituição clássica r=R\cos^2\varphi.

Passo 7

Substituição r=R\cos^2\varphi e transformação da integral.
  • Definimos r=R\cos^2\varphi. Quando r=R temos \varphi=0. Quando r\to 0 temos \varphi\to \pi/2.
  • Calculamos dr:
dr = -2R\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = -R\sin(2\varphi)\,d\varphi.
  • Avaliamos o integrando:
\frac{1}{r}-\frac{1}{R}=\frac{1}{R\cos^2\varphi}-\frac{1}{R}=\frac{1}{R}(\operatorname{sec}^2\varphi-1)=\frac{1}{R}\tan^2\varphi.
  • Então a raiz do denominador fica
\sqrt{2 G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)}=\sqrt{\frac{2 G M}{R}}\tan\varphi.
  • Substituindo tudo na integral para T:
T=\int_{\varphi=0}^{\varphi=\pi/2}\frac{-R\sin(2\varphi)\,d\varphi}{\sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}\tan\varphi}.

Passo 8

Simplificação da integral e cálculo explícito.
  • Simplificamos o integrando usando \sin(2\varphi)=2\sin\varphi\cos\varphi e \tan\varphi=\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}:
\frac{-R\sin(2\varphi)}{\sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}\tan\varphi} = \frac{-R\cdot 2\sin\varphi\cos\varphi}{\sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}\cdot \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}} = \frac{-2R\cos^2\varphi}{\sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}}.
  • O sinal menos é compensado pela troca dos limites (já usamos limites 0\to\pi/2 com a forma positiva), então obtemos
T=\int_{0}^{\pi/2}\frac{2R\cos^2\varphi}{\sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}}\,d\varphi.
  • Fatorando fora da integral:
T=\frac{2R}{\sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}}\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\varphi\,d\varphi.
  • Simplificamos o fator:
\frac{2R}{\sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}}=2R\sqrt{\frac{R}{2 G M}}=\sqrt{2}\,\sqrt{\frac{R^3}{G M}}.
  • E a integral conhecida é
\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\varphi\,d\varphi=\frac{\pi}{4}.
  • Portanto
T=\sqrt{2}\,\sqrt{\frac{R^3}{G M}}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{2R^3}{G M}}.

Passo 9

Expressar T em termos do período orbital \tau e simplificar.
  • Recordando da Passo 3 que
\sqrt{\frac{R^3}{G M}}=\frac{\tau}{2\pi},
substituímos na expressão de T:
T=\frac{\pi}{4}\sqrt{2}\cdot\frac{\tau}{2\pi}.
  • Simplificando \pi e os fatores:
T=\frac{\sqrt{2}}{8}\,\tau.
  • Reescrevendo \dfrac{\sqrt{2}}{8}=\dfrac{1}{4\sqrt{2}} (porque \dfrac{\sqrt{2}}{8}=\dfrac{1}{8}\sqrt{2}=\dfrac{1}{4\sqrt{2}}), obtemos finalmente
T=\frac{\tau}{4\sqrt{2}}.

Resposta

\dfrac{\tau}{4\sqrt{2}}

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