( \mathbf{2 , 0} pontos) Escreva a equação reduzida da cônica
4 x^{2}-12 x+y^{2}-2 y-12=5
e determine as coordenadas de seu centro.

Passo 1

O enunciado dá a cônica pela equação
4x^{2}-12x+y^{2}-2y-12=5
e pede duas coisas:
  1. Escrever a equação reduzida da cônica (ou seja, colocá-la na forma padrão com os quadrados completos).
  2. Determinar as coordenadas do centro da cônica.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{coeficientes: }4\text{ em }x^{2},\\\ -12\text{ em }x,\\\ 1\text{ em }y^{2},\\\ -2\text{ em }y,\\ \text{constante }-12,\\ \text{igual a }5.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y para preparar a técnica de completar o quadrado:
4x^{2}-12x+y^{2}-2y-12=5
Agrupando:
4\bigl(x^{2}-3x\bigr)+\bigl(y^{2}-2y\bigr)-12=5.
Agora isolamos os termos quadráticos e lineares no lado esquerdo e movemos o constante -12 para a direita:
4\bigl(x^{2}-3x\bigr)+\bigl(y^{2}-2y\bigr)=17.

Passo 3

Explico a técnica do completar o quadrado (aqui vai a “aula curta”): para qualquer expressão quadrática em x na forma \,x^{2}+bx, podemos escrever
x^{2}+bx=\bigl(x+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}.
Isto significa que acrescentamos e subtraímos o quadrado de metade do coeficiente linear para transformar em um quadrado perfeito. Se tivermos um fator a na frente, como em a x^{2}+b x, primeiro fatoramos a:
a x^{2}+b x=a\Bigl(x^{2}+\frac{b}{a}x\Bigr)
e então completamos o quadrado dentro do parêntese usando a regra acima com b/a.

Passo 4

Aplicamos o completar o quadrado à parte em x. Dentro do parêntese temos x^{2}-3x. Usando a fórmula com b=-3:
x^{2}-3x=\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{9}{4}.
Multiplicando por 4 (o fator que estava fora):
4\bigl(x^{2}-3x\bigr)=4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-4\cdot\tfrac{9}{4}=4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-9.

Passo 5

Agora completamos o quadrado para a parte em y. Temos y^{2}-2y. Com b=-2:
y^{2}-2y=\bigl(y-1\bigr)^{2}-1.

Passo 6

Substituímos as formas completadas na equação obtida no Passo 2:
4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-9+\bigl(y-1\bigr)^{2}-1=17.
Somamos os termos constantes do lado esquerdo: -9-1=-10. Então
4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}+\bigl(y-1\bigr)^{2}-10=17.
Isolando os quadrados:
4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}+\bigl(y-1\bigr)^{2}=27.

Passo 7

Para colocar na forma reduzida (forma padrão com o lado direito igual a 1), dividimos ambos os lados por 27:
\frac{4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}}{27}+\frac{\bigl(y-1\bigr)^{2}}{27}=1.
Podemos reescrever o primeiro termo isolando o quadrado de x:
\frac{\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}}{\tfrac{27}{4}}+\frac{\bigl(y-1\bigr)^{2}}{27}=1.
Essa é a equação reduzida da cônica. Observação rápida (útil na prova): como os coeficientes dos quadrados são positivos (após a divisão), trata-se de uma elipse centrada em \bigl(\tfrac{3}{2},1\bigr).

Passo 8

Explico como identificar o centro: na forma padrão de uma cônica centrada,
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
os números h e k são as coordenadas do centro (h,k). Aqui os termos são \bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} e \bigl(y-1\bigr)^{2}, portanto o centro é
\bigl(h,k\bigr)=\bigl(\tfrac{3}{2},\,1\bigr).

Resposta

\frac{\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}}{\tfrac{27}{4}}+\frac{\bigl(y-1\bigr)^{2}}{27}=1
\text{Centro: }\bigl(\tfrac{3}{2},\,1\bigr)

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