(
pontos) Escreva a equação reduzida da cônica
e determine as coordenadas de seu centro.
Passo 1
O enunciado dá a cônica pela equação
e pede duas coisas:
- Escrever a equação reduzida da cônica (ou seja, colocá-la na forma padrão com os quadrados completos).
- Determinar as coordenadas do centro da cônica.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Passo 2
Agrupamos termos em
e em
para preparar a técnica de completar o quadrado:
Agrupando:
Agora isolamos os termos quadráticos e lineares no lado esquerdo e movemos o constante
para a direita:
Passo 3
Explico a técnica do completar o quadrado (aqui vai a “aula curta”): para qualquer expressão quadrática em
na forma
, podemos escrever
Isto significa que acrescentamos e subtraímos o quadrado de metade do coeficiente linear para transformar em um quadrado perfeito. Se tivermos um fator
na frente, como em
, primeiro fatoramos
:
e então completamos o quadrado dentro do parêntese usando a regra acima com
.
Passo 4
Aplicamos o completar o quadrado à parte em
. Dentro do parêntese temos
. Usando a fórmula com
:
Multiplicando por
(o fator que estava fora):
Passo 5
Agora completamos o quadrado para a parte em
. Temos
. Com
:
Passo 6
Substituímos as formas completadas na equação obtida no Passo 2:
Somamos os termos constantes do lado esquerdo:
. Então
Isolando os quadrados:
Passo 7
Para colocar na forma reduzida (forma padrão com o lado direito igual a
), dividimos ambos os lados por
:
Podemos reescrever o primeiro termo isolando o quadrado de
:
Essa é a equação reduzida da cônica. Observação rápida (útil na prova): como os coeficientes dos quadrados são positivos (após a divisão), trata-se de uma elipse centrada em
.
Passo 8
Explico como identificar o centro: na forma padrão de uma cônica centrada,
os números
e
são as coordenadas do centro
. Aqui os termos são
e
, portanto o centro é