I- Duas partículas puntiformes de cargas 8 \times 10^{-9} \mathrm{Ce}-2 \times 10^{-9} \mathrm{C} são separadas por uma distância de 4 m . Qual é o valor e a direção do campo elétrico \mathbf{E} num ponto P situado no meio entre as partículas (ou seja numa distância 2 m de cada partícula)?

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:
  • Há duas partículas puntiformes com cargas \,8\times10^{-9}\,\mathrm{C} e -2\times10^{-9}\,\mathrm{C}.
  • A distância entre as partículas é \,4\,\mathrm{m}.
  • O ponto P está no ponto médio entre as partículas, ou seja a \,2\,\mathrm{m} de cada carga.
  • Pergunta: qual é o valor e a direção do campo elétrico \mathbf{E} em P?

Passo 2

Escolha de eixo e posição das cargas (isso facilita o cálculo e não altera o resultado):
  • Coloco as cargas sobre o eixo x.
  • q_1 = +8\times10^{-9}\,\mathrm{C} em x=-2\,\mathrm{m}.
  • q_2 = -2\times10^{-9}\,\mathrm{C} em x=+2\,\mathrm{m}.
  • O ponto P está em x=0.
    Explicação rápida: essa escolha é só uma convenção para representar direções com \hat{\mathbf{i}} (vetor unitário para a direita).

Passo 3

Fórmula do campo elétrico de uma carga pontual e interpretação das grandezas:
  • A contribuição de uma carga pontual q no campo elétrico em um ponto a distância r é dada por
\mathbf{E} = k\,\frac{q}{r^{2}}\,\hat{r},
onde:
  • k é a constante eletrostática \,k=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}};
  • q é a carga (em coulombs);
  • r é a distância do ponto até a carga (em metros);
  • \hat{r} é o vetor unitário que aponta do ponto onde está a carga para o ponto onde se calcula \mathbf{E}.
  • Direção: se q>0 o campo aponta para fora da carga (afastando-se); se q<0 o campo aponta para a carga (em direção a ela).

Passo 4

Campo gerado por q_1 = +8\times10^{-9}\,\mathrm{C} no ponto P:
  • Distância \,r_1=2\,\mathrm{m}.
  • Magnitude:
|E_1| = k\,\frac{|q_1|}{r_1^{2}} = 8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{8\times10^{-9}}{2^{2}} = 8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{8\times10^{-9}}{4}.
  • Faço a divisão interna primeiro: \dfrac{8\times10^{-9}}{4}=2\times10^{-9}.
  • Então
|E_1| = 8{,}99\times10^{9}\cdot 2\times10^{-9} = 17{,}98\\ \mathrm{N/C}.
  • Direção: q_1 é positiva, então o campo em P aponta para fora de q_1, ou seja do ponto x=-2 para x=0, isto é para a direita. Em notação vetorial:
\mathbf{E}_1 = 17{,}98\\ \mathrm{N/C}\\ \hat{\mathbf{i}}.

Passo 5

Campo gerado por q_2 = -2\times10^{-9}\,\mathrm{C} no ponto P:
  • Distância \,r_2=2\,\mathrm{m}.
  • Magnitude:
|E_2| = k\,\frac{|q_2|}{r_2^{2}} = 8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{2\times10^{-9}}{2^{2}} = 8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{2\times10^{-9}}{4}.
  • Dividindo: \dfrac{2\times10^{-9}}{4}=0{,}5\times10^{-9}.
  • Então
|E_2| = 8{,}99\times10^{9}\cdot 0{,}5\times10^{-9} = 4{,}495\\ \mathrm{N/C}.
  • Direção: q_2 é negativa, então o campo em P aponta em direção a q_2, ou seja do ponto x=0 para x=+2, também para a direita. Em notação vetorial:
\mathbf{E}_2 = 4{,}495\\ \mathrm{N/C}\\ \hat{\mathbf{i}}.

Passo 6

Soma vetorial das contribuições:
  • Como \mathbf{E}_1 e \mathbf{E}_2 têm a mesma direção ( +\hat{\mathbf{i}}), somamos as magnitudes:
|\mathbf{E}| = |E_1| + |E_2| = 17{,}98 + 4{,}495 = 22{,}475\\ \mathrm{N/C}.
  • Arredondando de forma razoável (dados iniciais com algarismos simples), uso duas casas significativas após a vírgula:
|\mathbf{E}| \approx 22{,}5\\ \mathrm{N/C}.
  • Direção: para a direita, ou dito de outro modo, do lado da carga positiva em direção à carga negativa (do q_1 para q_2).

Resposta

\mathbf{E}=22{,}5\\ \mathrm{N/C}\\ \hat{\mathbf{i}} (direção: para a direita, isto é, do q_1 positivo em direção ao q_2 negativo).

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