II- Cargas puntiformes de -q e +q ( q e positivo)são colocadas em dois vértices de um triângulo equilátero com lados de comprimento 0.2 m . Encontre a força experimentada por uma carga de +2 q colocada no terceiro vértice do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero com lados de comprimento 0,2\\ \mathrm{m}. Em dois vértices estão colocadas cargas puntiformes -q e +q (com q>0). No terceiro vértice está uma carga +2q. A pergunta é: encontrar a força que atua sobre a carga +2q colocada nesse terceiro vértice.
Informações relevantes (resumindo):
\text{lado do triângulo } a=0,2\\ \mathrm{m}â
\text{cargas: } q_A=-q,\quad q_B=+q,\quad q_C=+2q
A tarefa é calcular a força resultante sobre q_C devido às outras duas cargas.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas para facilitar as contas (isso é comum e ajuda a decompor vetores): coloque o lado AB na horizontal e o vértice C acima do lado AB. Assim:
A\equiv\left(-\frac{a}{2},0\right),\quad B\equiv\left(\frac{a}{2},0\right),\quad C\equiv\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}a\right).
Aqui a é o comprimento do lado. Esse posicionamento é padrão para triângulo equilátero e facilita obter componentes dos vetores que unem os vértices.

Passo 3

Lembrete da lei de Coulomb e superposição (a “aula” necessária): a força elétrica entre duas cargas puntuais q_1 e q_2 separadas por distância r é dada por
\vec F_{1\to2}=k\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat r_{1\to2},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} (constante eletrostática, k\approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}), r é a distância entre elas e \hat r_{1\to2} é o versor (vetor unitário) apontando de 1 para 2. A superposição diz que a força total sobre uma carga é a soma vetorial das forças de cada carga individualmente.
Explicando as variáveis: q_1,q_2 são os valores das cargas (podem ser positivos ou negativos); o sinal de q_1 q_2 determina se a força é atrativa (produto negativo) ou repulsiva (produto positivo). O versor \hat r_{1\to2} indica a direção da força sobre a segunda carga: se q_1 q_2>0 a força é no sentido de \hat r_{1\to2} (repulsão), se q_1 q_2<0 a força é no sentido oposto a \hat r_{1\to2} (atração).

Passo 4

Calculemos as magnitudes das forças sobre q_C=+2q causadas por q_A=-q e q_B=+q. As distâncias CA e CB valem a (lados do triângulo), logo as magnitudes são iguais:
F_{CA}=k\frac{|q_A q_C|}{a^2}=k\frac{|-q|\cdot 2q}{a^2}=2k\frac{q^2}{a^2},
F_{CB}=k\frac{|q_B q_C|}{a^2}=k\frac{|+q|\cdot 2q}{a^2}=2k\frac{q^2}{a^2}.
Observação física: a força de A sobre C é atrativa (porque q_A=-q e q_C=+2q), então aponta de C para A. A força de B sobre C é repulsiva (ambas positivas), então aponta de C para longe de B, isto é, na direção de C para o lado oposto a B.

Passo 5

Agora precisamos das direções (versores). Vetores do ponto C para A e para B (usando as coordenadas do Passo 2):
\vec r_{C\to A}=A-C=\left(-\frac{a}{2},0\right)-\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)=\left(-\frac{a}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}a\right),
\vec r_{C\to B}=B-C=\left(\frac{a}{2},0\right)-\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)=\left(\frac{a}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}a\right).
Como o módulo de cada um é a, os versores (unitários) são estes vetores divididos por a:
\hat u_{C\to A}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\qquad \hat u_{C\to B}=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 6

Determinar os vetores força individuais usando magnitude vezes versor, lembrando o sentido (atração para A, repulsão para B):
Força de A sobre C (atração, aponta para A, usa \hat u_{C\to A}):
\vec F_{A\to C}=F\,\hat u_{C\to A}=2k\frac{q^2}{a^2}\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Força de B sobre C (repulsão, aponta para longe de B; o versor da direção de C para longe de B é -\hat u_{C\to B} ou, mais diretamente, o vetor centrado em C que aponta para C afastando-se de B tem componentes \left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right). Porém é mais simples pensar: a força sobre C devido a B tem direção \vec r_{C\leftarrow B}=C-B=(-\tfrac{a}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}a), cujo versor é \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right). Assim:)
\vec F_{B\to C}=2k\frac{q^2}{a^2}\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 7

Somamos vetorialmente \vec F_{A\to C}+\vec F_{B\to C}. Calcule as componentes separadamente:
componente x:
F_x=2k\frac{q^2}{a^2}\left(-\frac{1}{2}\right)+2k\frac{q^2}{a^2}\left(-\frac{1}{2}\right) =2k\frac{q^2}{a^2}\left(-1\right)=-2k\frac{q^2}{a^2}.
componente y:
F_y=2k\frac{q^2}{a^2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2k\frac{q^2}{a^2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0.
Portanto a força resultante é puramente horizontal (e aponta para a esquerda no nosso sistema de coordenadas):
\vec F_{\text{res}}=\left(-2k\frac{q^2}{a^2},\,0\right).
O módulo da força resultante é, então,
F_{\text{res}}=2k\frac{q^2}{a^2}.

Passo 8

Substituímos a=0,2\\ \mathrm{m} e, se quisermos, o valor numérico de k\approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}, para obter a constante numérica multiplicando q^2:
F_{\text{res}}=2\cdot 8,99\times10^{9}\cdot\frac{q^2}{(0,2)^2} =2\cdot 8,99\times10^{9}\cdot\frac{q^2}{0,04} =4,495\times10^{11}\,q^2\\ \mathrm{N}.
Em forma vetorial (usando \hat{\imath} para o eixo x para a direita), a direção para a esquerda corresponde a -\hat{\imath}, então
\vec F_{\text{res}}=-\;4,495\times10^{11}\,q^2\\ \hat{\imath}\\ \mathrm{N}.

Resposta

\displaystyle \vec F_{\text{res}}=-2k\frac{q^2}{a^2}\,\hat{\imath} onde a=0,2\\ \mathrm{m}.\n
Numericamente: \displaystyle \vec F_{\text{res}}=-4,495\times10^{11}\,q^2\\ \hat{\imath}\\ \mathrm{N}.

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