Duas partículas quânticas são espalhadas. A amplitude de probabilidade
foi determinada a ser
Um elétron e um próton são emitidos no começo e são observados por detectores no final. Qual é a (densidade de) probabilidade de observar as partículas espalhadas em sentidos opostos no referencial do centro de massa ao longo de uma reta inclinada
?
Passo 1
O enunciado nos dá a amplitude de probabilidade
e diz que um elétron e um próton (partículas distinguíveis) são emitidos e observados no referencial do centro de massa. A questão pede a (densidade de) probabilidade de observar as partículas espalhadas em sentidos opostos ao longo de uma reta com ângulo
.
Informações relevantes: a amplitude fornecida e o ângulo
. A saída pedida é a densidade de probabilidade para essa configuração (no mesmo referencial do centro de massa).
Informações relevantes: a amplitude
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): em espalhamento quântico a quantidade que nos dá a probabilidade por unidade de ângulo sólido de espalhar para uma direção
é o módulo ao quadrado da amplitude de espalhamento. Em notação:
Aqui
é um número complexo que contém a amplitude para a configuração relativa com ângulo
. Para detectar as duas partículas em sentidos opostos numa reta inclinada em
(isto é, uma em
e a outra em
), na representação do movimento relativo isso corresponde ao mesmo ângulo relativo
. Como as partículas são distinguíveis (elétron e próton), a probabilidade conjunta para essa configuração é dada por
. Portanto basta calcular
.
Passo 3
Calcular o módulo ao quadrado da amplitude de maneira algébrica. Primeiro escrevemos a amplitude geral e lembramos que
:
Tomando o módulo ao quadrado:
Explicando cada termo:
vem do fator escalar;
; e
é o quadrado do fator angular.
Passo 4
Substituímos
. Primeiro avaliamos o cosseno:
logo
Então
e elevando ao quadrado:
Passo 5
Agora juntamos todos os fatores:
Multiplicando numerador e denominador:
Podemos também dar uma aproximação numérica rápida (útil para intuição): usando
,
Passo 6
Interpretação final e encorajamento: esse valor
é a densidade de probabilidade por unidade de ângulo sólido de encontrar as duas partículas espalhadas em sentidos opostos ao longo da reta inclinada em
. Se precisar transformar isso numa probabilidade finita para detectores com abertura angular finita, integraríamos essa densidade sobre o sólido angular coberto pelos detectores — posso te mostrar como fazer isso se quiser. Força aí, você já tem o valor exato e aproximado!