Duas partículas quânticas são espalhadas. A amplitude de probabilidade f_{12}(\theta) foi determinada a ser
f_{12}(\theta)=\frac{\mathrm{i}}{4} \sqrt{\frac{15}{7 \pi}}\left(1+\cos ^{2} \theta\right)
Um elétron e um próton são emitidos no começo e são observados por detectores no final. Qual é a (densidade de) probabilidade de observar as partículas espalhadas em sentidos opostos no referencial do centro de massa ao longo de uma reta inclinada \operatorname{com} \theta=\theta_{0}=\pi / 3 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a amplitude de probabilidade
f_{12}(\theta)=\frac{\mathrm{i}}{4}\sqrt{\frac{15}{7\pi}}\bigl(1+\cos^{2}\theta\bigr)
e diz que um elétron e um próton (partículas distinguíveis) são emitidos e observados no referencial do centro de massa. A questão pede a (densidade de) probabilidade de observar as partículas espalhadas em sentidos opostos ao longo de uma reta com ângulo \theta=\theta_{0}=\pi/3.
Informações relevantes: a amplitude f_{12}(\theta) fornecida e o ângulo \theta_{0}=\pi/3. A saída pedida é a densidade de probabilidade para essa configuração (no mesmo referencial do centro de massa).

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): em espalhamento quântico a quantidade que nos dá a probabilidade por unidade de ângulo sólido de espalhar para uma direção \theta é o módulo ao quadrado da amplitude de espalhamento. Em notação:
\text{densidade de probabilidade por unidade de ângulo sólido} = |f_{12}(\theta)|^{2}.âó
Aqui f_{12}(\theta) é um número complexo que contém a amplitude para a configuração relativa com ângulo \theta. Para detectar as duas partículas em sentidos opostos numa reta inclinada em \theta_{0} (isto é, uma em \theta_{0} e a outra em \theta_{0}+\pi), na representação do movimento relativo isso corresponde ao mesmo ângulo relativo \theta=\theta_{0}. Como as partículas são distinguíveis (elétron e próton), a probabilidade conjunta para essa configuração é dada por |f_{12}(\theta_{0})|^{2}. Portanto basta calcular |f_{12}(\pi/3)|^{2}.

Passo 3

Calcular o módulo ao quadrado da amplitude de maneira algébrica. Primeiro escrevemos a amplitude geral e lembramos que |\mathrm{i}|^{2}=1:
f_{12}(\theta)=\frac{\mathrm{i}}{4}\sqrt{\frac{15}{7\pi}}\bigl(1+\cos^{2}\theta\bigr).
Tomando o módulo ao quadrado:
|f_{12}(\theta)|^{2}=\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\left(\sqrt{\frac{15}{7\pi}}\right)^{2}\bigl(1+\cos^{2}\theta\bigr)^{2}.
Explicando cada termo: \left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16} vem do fator escalar; \left(\sqrt{\frac{15}{7\pi}}\right)^{2}=\frac{15}{7\pi}; e \bigl(1+\cos^{2}\theta\bigr)^{2} é o quadrado do fator angular.

Passo 4

Substituímos \theta=\theta_{0}=\pi/3. Primeiro avaliamos o cosseno:
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},
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\cos^{2}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}.
Então
1+\cos^{2}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4},
e elevando ao quadrado:
\biggl(1+\cos^{2}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)\biggr)^{2}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}.

Passo 5

Agora juntamos todos os fatores:
|f_{12}(\pi/3)|^{2}=\frac{1}{16}\cdot\frac{15}{7\pi}\cdot\frac{25}{16}.
Multiplicando numerador e denominador:
|f_{12}(\pi/3)|^{2}=\frac{15\cdot 25}{16\cdot 16\cdot 7\pi}=\frac{375}{1792\pi}.
Podemos também dar uma aproximação numérica rápida (útil para intuição): usando \pi\approx 3{,}1416,
\frac{375}{1792\pi}\approx 0{,}0666\quad(\text{por unidade de ângulo sólido}).âó

Passo 6

Interpretação final e encorajamento: esse valor |f_{12}(\pi/3)|^{2}=\dfrac{375}{1792\pi} é a densidade de probabilidade por unidade de ângulo sólido de encontrar as duas partículas espalhadas em sentidos opostos ao longo da reta inclinada em \theta=\pi/3. Se precisar transformar isso numa probabilidade finita para detectores com abertura angular finita, integraríamos essa densidade sobre o sólido angular coberto pelos detectores — posso te mostrar como fazer isso se quiser. Força aí, você já tem o valor exato e aproximado!

Resposta

\frac{375}{1792\pi}\approx 0{,}0666

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