A posição de uma partícula é dada por boldsymbol{x}(boldsymbol{t})=(\mathbf{7 c m}) \boldsymbol{\operatorname { c o s }}(\mathbf{6} \boldsymbol{\pi} . \boldsymbol{t}), com boldsymbol{t} em segundos.
Qual a sua aceleração máxima?

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pergunta a aceleração máxima. Informações fornecidas:
\boldsymbol{x}(t) = (7\\ \mathrm{cm})\cos(6\pi t),
com t em segundos. A pergunta é: qual a aceleração máxima (valor absoluto máximo da aceleração) da partícula, e qual é a sua unidade.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando como funciona): se a posição é dada por \boldsymbol{x}(t), a velocidade é a derivada temporal
\boldsymbol{v}(t)=\frac{d\boldsymbol{x}}{dt},
e a aceleração é a derivada da velocidade (segunda derivada da posição)
\boldsymbol{a}(t)=\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\frac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}.
Regra útil (cadeia): se temos \cos(\omega t), então
\frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t),
e
\frac{d^2}{dt^2}\cos(\omega t)=-\omega^2\cos(\omega t).
Aqui \omega é a frequência angular (em rad/s) e representa o coeficiente que multiplica t dentro do cosseno.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso problema: identifique amplitude e frequência angular.
A amplitude é A=7\\ \mathrm{cm}.
A frequência angular é \omega=6\pi (pois o argumento do cosseno é 6\pi t).

Passo 4

Calcule a velocidade derivando \boldsymbol{x}(t):
\boldsymbol{v}(t)=\frac{d}{dt}\big(7\\ \mathrm{cm}\cdot\cos(6\pi t)\big)=7\\ \mathrm{cm}\cdot\big(-6\pi\big)\sin(6\pi t).
Portanto
\boldsymbol{v}(t) = -7\cdot6\pi\\ \mathrm{cm}\cdot\sin(6\pi t).

Passo 5

Calcule a aceleração derivando \boldsymbol{v}(t) (ou usando a fórmula da segunda derivada direta):
\boldsymbol{a}(t)=\frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t)=\frac{d^2}{dt^2}\big(7\\ \mathrm{cm}\cdot\cos(6\pi t)\big) = -7\\ \mathrm{cm}\cdot(6\pi)^2\cos(6\pi t).
Ou escrito de forma limpa:
\boldsymbol{a}(t) = -7(6\pi)^2\\ \mathrm{cm}\cdot\cos(6\pi t).

Passo 6

Entenda onde ocorre a aceleração máxima: o fator \cos(6\pi t) varia entre -1 e 1, então o módulo da aceleração atinge o máximo quando |\cos(6\pi t)|=1. Assim a aceleração máxima (valor absoluto) é o coeficiente multiplicador:
a_{\max}=7(6\pi)^2\\ \mathrm{cm/s^2}.

Passo 7

Simplifique a expressão:
7(6\pi)^2 = 7\cdot 36\pi^2 = 252\pi^2,
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a_{\max}=252\pi^2\\ \mathrm{cm/s^2}.
Convertendo para o SI (multiplicando por 0,01 para passar de \mathrm{cm} para \mathrm{m}):
a_{\max}=2{,}52\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}\approx 24{,}89\\ \mathrm{m/s^2},
usando \pi^2\approx 9{,}8696.

Resposta

a_{\max}=252\pi^2\\ \mathrm{cm/s^2}\approx 24{,}89\\ \mathrm{m/s^2}

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