Duas partículas quânticas são espalhadas. A amplitude de probabilidade f_{12}(\theta) foi determinada a ser
f_{12}(\theta)=\frac{\mathrm{i}}{4} \sqrt{\frac{15}{7 \pi}}\left(1+\cos ^{2} \theta\right)
O experimento é repetido com dois elétrons. Qual é a (densidade de) probabilidade para a observação em \theta_{0} ?

Passo 1

O enunciado dá a amplitude de espalhamento para duas partículas (distinguíveis) como
f_{12}(\theta)=\frac{\mathrm{i}}{4}\sqrt{\frac{15}{7\pi}}\,(1+\cos^{2}\theta)
e pergunta qual é a densidade de probabilidade para observar a dispersão no ângulo \theta_{0} quando as partículas no experimento são dois elétrons. Informação relevante listada:
  • Foi dada a amplitude \;f_{12}(\theta)\;.
  • Agora as partículas são elétrons: elétrons são férmions de spin \tfrac{1}{2}.
  • A pergunta pede a densidade de probabilidade para observação em \theta_{0} (ou seja, a quantidade proporcional a |\text{amplitude}|^{2} por unidade de ângulo/ângulo-sólido).

Passo 2

Conceito-chave: amplitude → probabilidade.
  • Em espalhamento, a amplitude complexa f(\theta) contém informação de fase e módulo.
  • A densidade de probabilidade (diferencial) para detectar a partícula naquele ângulo é proporcional ao módulo ao quadrado da amplitude:
\text{probabilidade (densidade)} \propto |f(\theta)|^{2}.
Aqui vou tratar a quantidade pedida como exatamente |f(\theta)|^{2} (densidade por unidade de ângulo), que é o que normalmente se pede quando se dá uma amplitude de espalhamento.

Passo 3

Idênticos e simetrização/anti-simetrização:
  • Para partículas idênticas há duas trajetórias indistinguíveis: “partícula A vai para o detector em \theta e B vai para o outro” e o processo trocado. Isso leva a combinar amplitudes.
  • Para partículas sem spin ou para uma dada simetria espacial, a amplitude combinada é
f_{\text{tot}}(\theta)=f(\theta)\pm f(\pi-\theta),
onde o sinal + é para estados espaciais simétricos (bosões ou fermions com spin antissimétrico) e o sinal - é para estados espaciais antissimétricos (férmions com spin simétrico).
  • Para elétrons (férmions de spin- \tfrac{1}{2}) o total deve ser antissimétrico sob troca de partículas. Isso implica:
    • Se o estado de spin for singlete (spin total S=0, antissimétrico), a parte espacial deve ser simétrica → usar +.
    • Se o estado de spin for tríplice (spin total S=1, simétrico), a parte espacial deve ser antissimétrica → usar -.

Passo 4

Estados de spin e médias (elétrons não polarizados):
  • Se os elétrons estão não polarizados (situação usual quando não é especificado), devemos considerar média sobre possíveis estados de spin.
  • Para dois spins- \tfrac{1}{2} 4 estados totais: 1 singlete e 3 tripletes. Assim, em média estatística ponderada:
    • probabilidade efetiva = \tfrac{1}{4}\,\big|f(\theta)+f(\pi-\theta)\big|^{2} + \tfrac{3}{4}\,\big|f(\theta)-f(\pi-\theta)\big|^{2}.

Passo 5

Aplicando ao f_{12}(\theta) dado — avaliar \,f(\pi-\theta)\,:
  • Observação trigonométrica: \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta então \cos^{2}(\pi-\theta)=\cos^{2}\theta.
  • Portanto, a função angular 1+\cos^{2}\theta é invariante pela substituição \theta\mapsto\pi-\theta.
  • Logo
f(\pi-\theta)=\frac{\mathrm{i}}{4}\sqrt{\frac{15}{7\pi}}\,(1+\cos^{2}(\pi-\theta)) =\frac{\mathrm{i}}{4}\sqrt{\frac{15}{7\pi}}\,(1+\cos^{2}\theta)=f(\theta).
Ou seja, f(\theta) é simétrica: f(\pi-\theta)=f(\theta).

Passo 6

Calcular as amplitudes combinadas e probabilidades por caso:
  • Se f(\pi-\theta)=f(\theta), então
    • Singlete (sinal +): amplitude espacial =f(\theta)+f(\pi-\theta)=2f(\theta) e a probabilidade é |2f(\theta)|^{2}=4|f(\theta)|^{2}.
    • Trípite (sinal -): amplitude espacial =f(\theta)-f(\pi-\theta)=0 e a probabilidade é 0.
  • Como em média estatística (não polarizados) temos peso 1/4 para singlete e 3/4 para trípite, a probabilidade média é
\frac{1}{4}\,4|f(\theta)|^{2}+\frac{3}{4}\,0 = |f(\theta)|^{2}.
Portanto, surpreendentemente (mas razoável), para este caso particular — onde a amplitude é invariável por \theta\mapsto\pi-\theta — a densidade de probabilidade para elétrons não polarizados é exatamente |f(\theta)|^{2}.

Passo 7

Calcular explicitamente |f(\theta_{0})|^{2} substituindo a expressão dada:
  • A amplitude é \displaystyle f(\theta)=\frac{\mathrm{i}}{4}\sqrt{\frac{15}{7\pi}}(1+\cos^{2}\theta).
  • O módulo ao quadrado: |\mathrm{i}|^{2}=1, então
|f(\theta)|^{2}=\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\left(\frac{15}{7\pi}\right)(1+\cos^{2}\theta)^{2} =\frac{15}{112\pi}\,(1+\cos^{2}\theta)^{2},
pois \left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\tfrac{1}{16} e \tfrac{1}{16}\cdot\tfrac{15}{7\pi}=\tfrac{15}{112\pi}.

Passo 8

Concluir para o ângulo pedido \theta_{0}:
  • A densidade de probabilidade para observar a dispersão em \theta_{0}, no caso de dois elétrons não polarizados e dado o f_{12}(\theta) fornecido, é
\boxed{|f(\theta_{0})|^{2}=\frac{15}{112\pi}\,(1+\cos^{2}\theta_{0})^{2}.}

Resposta

\displaystyle \frac{15}{112\pi}\,(1+\cos^{2}\theta_{0})^{2}

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