e pergunta qual é a densidade de probabilidade para observar a dispersão no ângulo \theta_{0} quando as partículas no experimento são dois elétrons. Informação relevante listada:
Foi dada a amplitude \;f_{12}(\theta)\;.
Agora as partículas são elétrons: elétrons são férmions de spin \tfrac{1}{2}.
A pergunta pede a densidade de probabilidade para observação em \theta_{0} (ou seja, a quantidade proporcional a |\text{amplitude}|^{2} por unidade de ângulo/ângulo-sólido).
Passo 2
Conceito-chave: amplitude → probabilidade.
Em espalhamento, a amplitude complexa f(\theta) contém informação de fase e módulo.
A densidade de probabilidade (diferencial) para detectar a partícula naquele ângulo é proporcional ao módulo ao quadrado da amplitude:
Aqui vou tratar a quantidade pedida como exatamente |f(\theta)|^{2} (densidade por unidade de ângulo), que é o que normalmente se pede quando se dá uma amplitude de espalhamento.
Passo 3
Idênticos e simetrização/anti-simetrização:
Para partículas idênticas há duas trajetórias indistinguíveis: “partícula A vai para o detector em \theta e B vai para o outro” e o processo trocado. Isso leva a combinar amplitudes.
Para partículas sem spin ou para uma dada simetria espacial, a amplitude combinada é
onde o sinal + é para estados espaciais simétricos (bosões ou fermions com spin antissimétrico) e o sinal - é para estados espaciais antissimétricos (férmions com spin simétrico).
Para elétrons (férmions de spin-\tfrac{1}{2}) o total deve ser antissimétrico sob troca de partículas. Isso implica:
Se o estado de spin for singlete (spin total S=0, antissimétrico), a parte espacial deve ser simétrica → usar +.
Se o estado de spin for tríplice (spin total S=1, simétrico), a parte espacial deve ser antissimétrica → usar -.
Passo 4
Estados de spin e médias (elétrons não polarizados):
Se os elétrons estão não polarizados (situação usual quando não é especificado), devemos considerar média sobre possíveis estados de spin.
Para dois spins-\tfrac{1}{2} há 4 estados totais: 1 singlete e 3 tripletes. Assim, em média estatística ponderada:
Portanto, surpreendentemente (mas razoável), para este caso particular — onde a amplitude é invariável por \theta\mapsto\pi-\theta — a densidade de probabilidade para elétrons não polarizados é exatamente |f(\theta)|^{2}.
Passo 7
Calcular explicitamente |f(\theta_{0})|^{2} substituindo a expressão dada:
A amplitude é \displaystyle f(\theta)=\frac{\mathrm{i}}{4}\sqrt{\frac{15}{7\pi}}(1+\cos^{2}\theta).