• 4 Duas partículas são mantidas fixas no eixo x : a partícula I , de carga -2,00 \times \mathrm{IO}^{-7} \mathrm{C}, no ponto x=6,00 \mathrm{~cm}, e a partícula 2 , de carga +2,00 \times 10^{-7} \mathrm{C}, no ponto x=21,0 \mathrm{~cm}. Qual é o campo elétrico total a meio caminho entre as partículas, na notação dos vetores unitários?

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico total no ponto que fica “a meio caminho” entre duas partículas localizadas no eixo x. Informações dadas:
  • Partícula 1: carga \,q_1 = -2{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{C}\, no ponto x=6{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • Partícula 2: carga \,q_2 = +2{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{C}\, no ponto x=21{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Pede-se o campo elétrico total no ponto médio entre as partículas, escrito na notação com vetores unitários (isto é, algo como E_x\,\hat{\imath}+E_y\,\hat{\jmath}, aqui só haverá componente em x).

Passo 2

Primeiro passo prático: converter posições para o SI (metros) e encontrar a posição do ponto médio.
  • Converter centímetros para metros: x_1 = 6{,}00\\ \mathrm{cm} = 0{,}060\\ \mathrm{m}, \qquad x_2 = 21{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}210\\ \mathrm{m}.
  • Posição do ponto médio x_{\text{m}}: x_{\text{m}} = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{0{,}060 + 0{,}210}{2} = 0{,}135\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular as distâncias do ponto médio a cada carga (modulus do vetor posição relativo).
  • Distância até q_1: r_1 = x_{\text{m}} - x_1 = 0{,}135 - 0{,}060 = 0{,}075\\ \mathrm{m}.
  • Distância até q_2: r_2 = x_2 - x_{\text{m}} = 0{,}210 - 0{,}135 = 0{,}075\\ \mathrm{m}.
Observação: as duas distâncias são iguais ( r_1 = r_2 = 0{,}075\\ \mathrm{m}), o que indica simetria.

Passo 4

Lembrando a fórmula do campo elétrico criado por uma carga pontual e o que cada símbolo significa:
\vec{E}(\vec{r}) = k\,\dfrac{q}{r^{2}}\,\hat{r},
onde
  • k = 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} é a constante eletrostática,
  • q é a carga fonte (pode ser positiva ou negativa),
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde se calcula o campo (módulo),
  • \hat{r} é o vetor unitário que aponta da carga para o ponto de interesse.
    Importante sobre direção: para carga positiva o campo aponta para fora (afasta-se da carga); para carga negativa o campo aponta para a carga (aponta em direção à carga). No nosso caso, o ponto médio está entre as duas cargas: q_1 está à esquerda do ponto médio e q_2 à direita. Assim:
  • Campo devido a q_1<0 no ponto médio aponta em direção a q_1, ou seja, para a esquerda (direção negativa de x, -\hat{\imath}).
  • Campo devido a q_2>0 no ponto médio aponta para longe de q_2, ou seja, também para a esquerda (pois o ponto médio está à esquerda de q_2).
    Portanto as contribuições têm mesma direção ( -\hat{\imath}) e seus módulos somam.

Passo 5

Calcular o módulo do campo produzido por uma das cargas (são iguais em módulo). Usando r=0{,}075\\ \mathrm{m} e |q|=2{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{C}:
r^{2} = (0{,}075)^{2} = 0{,}005625\\ \mathrm{m^{2}}.
k\,|q| = \left(8{,}99\times10^{9}\right)\left(2{,}00\times10^{-7}\right) = 1{,}798\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Agora o módulo de E de uma carga:
E_{1} = \frac{k\,|q|}{r^{2}} = \frac{1{,}798\times10^{3}}{0{,}005625} = 3{,}19644\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
(Arredondando com base nos dados, podemos usar E_{1}\approx 3{,}20\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}, mas vou manter mais dígitos intermediários e arredondar no final.)

Passo 6

Como ambas as contribuições apontam para a esquerda ( -\hat{\imath}) e têm o mesmo módulo, o campo total é:
\vec{E}_{\text{tot}} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} = -E_{1}\,\hat{\imath} \;+\; -E_{2}\,\hat{\imath} = -(E_{1}+E_{2})\,\hat{\imath}.
Como E_{1}=E_{2}, tem-se E_{1}+E_{2}=2E_{1}. Logo:
|\vec{E}_{\text{tot}}| = 2E_{1} = 2\cdot 3{,}19644\times10^{5} = 6{,}39289\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 7

Arredondando de forma consistente com os dados (as cargas foram dadas com três algarismos significativos), apresentamos o resultado final com três algarismos significativos:
\vec{E}_{\text{tot}} = -6{,}39\times10^{5}\,\hat{\imath}\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

-6{,}39\times10^{5}\,\hat{\imath}\\ \mathrm{N/C}

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