1. Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de \mathrm{R} \ 90.000,00 e\mathrm{R} $76.000,00 , respectivamente. A primeira recebeu, na divisão do lucro,ã\mathrm{R} $ 1.722,00$ a mais que a segunda. Calcule o lucro de cada uma delas.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Capital da primeira pessoa: R$ 90.000,00.
    • Capital da segunda pessoa: R$ 76.000,00.
    • A primeira recebeu R$ 1.722,00 a mais que a segunda na divisão do lucro.
  • O que o problema pede:
    • Calcular o lucro recebido por cada uma das duas pessoas (ou seja, quanto cada uma recebeu da parcela do lucro total).

Passo 2

Entendendo a regra de divisão do lucro (aulas rápidas e didáticas).
Quando duas pessoas investem capitais C_1 e C_2 e o lucro total é L, a forma correta de dividir o lucro proporcionalmente aos capitais é:
\text{parte da 1ª pessoa} = L\cdot\frac{C_1}{C_1+C_2}, \qquad \text{parte da 2ª pessoa} = L\cdot\frac{C_2}{C_1+C_2}.ªª
Explicando o porquê, de forma simples: cada um recebe uma fração do lucro igual à sua fração no capital total. Se alguém colocou metade do capital total, recebe metade do lucro; se colocou um quarto, recebe um quarto, e assim por diante.
No nosso caso, vou chamar:
C_1 = 90.000,\qquad C_2 = 76.000,\qquad L = \text{lucro total (desconhecido)}.
Então as partes são
S_1 = L\cdot\frac{C_1}{C_1+C_2}, \qquad S_2 = L\cdot\frac{C_2}{C_1+C_2}.

Passo 3

Usando a informação da diferença de partes para montar a equação.
O enunciado diz que a primeira recebeu R$ 1.722,00 a mais que a segunda, isto é:
S_1 - S_2 = 1.722.
Substituindo as expressões de S_1 e S_2,
L\cdot\frac{C_1}{C_1+C_2} - L\cdot\frac{C_2}{C_1+C_2} = 1.722.
Fatorando L/(C_1+C_2),
L\cdot\frac{C_1-C_2}{C_1+C_2} = 1.722.
Agora substituímos C_1 e C_2:
C_1-C_2 = 90.000-76.000 = 14.000, \qquad C_1+C_2 = 90.000+76.000 = 166.000.
Portanto a equação fica
L\cdot\frac{14.000}{166.000} = 1.722.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 1.000:
L\cdot\frac{14}{166} = 1.722.
E simplificando 14/166 dividindo ambos por 2:
L\cdot\frac{7}{83} = 1.722.

Passo 4

Resolver a equação para L.
Isolando L,
L = 1.722\cdot\frac{83}{7}.
Fazendo as contas passo a passo: primeiro 1.722\div 7 = 246 (porque 7\times246=1.722), então
L = 246\cdot83.
Calcule 246\cdot83:
246\cdot80 = 19.680,\qquad 246\cdot3 = 738,
logo
L = 19.680 + 738 = 20.418.
Portanto o lucro total é R$ 20.418,00.

Passo 5

Calcular a parte de cada um usando as fórmulas iniciais.
A fração da primeira pessoa é \dfrac{C_1}{C_1+C_2}=\dfrac{90.000}{166.000}. Simplificando dividindo por 1.000 e por 2:
\frac{90.000}{166.000}=\frac{90}{166}=\frac{45}{83}.
Então a parte da primeira é
S_1 = L\cdot\frac{45}{83}.
Como L=20.418 e 20.418\div83=246 (vemos isso porque já usamos 246 acima), temos
S_1 = 246\cdot45.
Calcule 246\cdot45:
246\cdot40 = 9.840,\qquad 246\cdot5 = 1.230,
logo
S_1 = 9.840 + 1.230 = 11.070.
Portanto a primeira recebeu R$ 11.070,00.
A parte da segunda pode ser obtida subtraindo do total:
S_2 = L - S_1 = 20.418 - 11.070 = 9.348.
Ou usando diretamente a fração \dfrac{76.000}{166.000}=\dfrac{38}{83} e verificaria o mesmo resultado.
Conferência rápida da diferença:
S_1 - S_2 = 11.070 - 9.348 = 1.722,
coincide com o dado do enunciado.

Resposta

Primeira pessoa: R$ 11.070,00
Segunda pessoa: R$ 9.348,00

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