- Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de
90.000,00
\mathrm{R} $76.000,00
\mathrm{R} $ 1.722,00$ a mais que a segunda. Calcule o lucro de cada uma delas.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Capital da primeira pessoa: R$
. - Capital da segunda pessoa: R$
. - A primeira recebeu R$
a mais que a segunda na divisão do lucro.
- Capital da primeira pessoa: R$
-
O que o problema pede:
- Calcular o lucro recebido por cada uma das duas pessoas (ou seja, quanto cada uma recebeu da parcela do lucro total).
Passo 2
Entendendo a regra de divisão do lucro (aulas rápidas e didáticas).
Quando duas pessoas investem capitais
e
e o lucro total é
, a forma correta de dividir o lucro proporcionalmente aos capitais é:
Explicando o porquê, de forma simples: cada um recebe uma fração do lucro igual à sua fração no capital total. Se alguém colocou metade do capital total, recebe metade do lucro; se colocou um quarto, recebe um quarto, e assim por diante.
No nosso caso, vou chamar:
Então as partes são
Passo 3
Usando a informação da diferença de partes para montar a equação.
O enunciado diz que a primeira recebeu R$
a mais que a segunda, isto é:
Substituindo as expressões de
e
,
Fatorando
,
Agora substituímos
e
:
Portanto a equação fica
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
E simplificando
dividindo ambos por
:
Passo 4
Resolver a equação para
.
Isolando
,
Fazendo as contas passo a passo: primeiro
(porque
), então
Calcule
:
logo
Portanto o lucro total é R$
.
Passo 5
Calcular a parte de cada um usando as fórmulas iniciais.
A fração da primeira pessoa é
. Simplificando dividindo por
e por
:
Então a parte da primeira é
Como
e
(vemos isso porque já usamos
acima), temos
Calcule
:
logo
Portanto a primeira recebeu R$
.
A parte da segunda pode ser obtida subtraindo do total:
Ou usando diretamente a fração
e verificaria o mesmo resultado.
Conferência rápida da diferença:
coincide com o dado do enunciado.
Resposta
Primeira pessoa: R$
Segunda pessoa: R$
Segunda pessoa: R$