1. Três sócios realizaram um capital de \mathrm{R} \ 240.000,00 . Sabendo que, ao fim de um certo período de tempo, tiveram de lucro, respectivamente,í\mathrm{R} $24.000,00, \mathrm{R} $ 22.000,00 e\mathrm{R} $18.000,00$, qual era o capital de cada um?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • Capital total aportado pelos três sócios: \mathrm{R}\$240.000,00.
  • Lucros recebidos, respectivamente pelos sócios 1, 2 e 3: \mathrm{R}\$24.000,00, \mathrm{R}\$22.000,00 e \mathrm{R}\$18.000,00.
O que o problema pede:
  • Determinar o capital de cada sócio (o valor que cada um investiu), sabendo apenas o total e os lucros de cada um.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): quando três sócios investem por igual período de tempo, a divisão do lucro é proporcional ao capital de cada um. Ou seja, se um sócio recebeu um lucro maior, significa que ele havia colocado um capital maior, na mesma razão. Matematicamente isso diz que os capitais (C_1,C_2,C_3) são proporcionais aos lucros (P_1,P_2,P_3):
C_i = k\;P_i\quad\text{para }i=1,2,3,
onde k é uma constante de proporcionalidade (valor em reais por real de lucro). Para encontrar k usamos a condição do total:
C_1+C_2+C_3 = k(P_1+P_2+P_3)=\text{Capital total}.
Portanto a fórmula prática é
C_i = \frac{P_i}{P_1+P_2+P_3}\times\text{Capital total}.
(Isto é útil na prova: primeiro somar os lucros, depois multiplicar a fração correspondente de cada lucro pelo capital total.)

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: primeiro somamos os lucros:
P_1+P_2+P_3 = 24.000+22.000+18.000 = 64.000.

Passo 4

Agora usamos a fórmula para achar a constante k ou, de forma equivalente, podemos simplificar a razão dos lucros:
  • Razão dos lucros 24.000:22.000:18.000. Dividindo todos por 2.000 para simplificar:
24.000:22.000:18.000 = 12:11:9.
Somando as partes: 12+11+9=32 partes totais. Cada parte vale
\text{valor da parte}=\frac{\text{Capital total}}{\text{nº partes}}=\frac{240.000}{32}=7.500.º
(Alternativa equivalente: calcular k=\dfrac{240.000}{64.000}=3{,}75 e então C_i=3{,}75\cdot P_i. Ambos dão o mesmo resultado.)

Passo 5

Agora calculamos o capital de cada sócio multiplicando o nº de partes pela \text{valor da parte}=7.500:
C_1 = 12\cdot7.500 = 90.000,
C_2 = 11\cdot7.500 = 82.500,
C_3 = 9\cdot7.500 = 67.500.

Passo 6

Verificação rápida: somando os capitais obtidos temos
90.000+82.500+67.500 = 240.000,
que confere com o capital total dado. Portanto os valores estão corretos.

Passo 7

Resumo prático para a prova: some os lucros, escreva cada lucro como fração do total dos lucros e multiplique essa fração pelo capital total. Se der para simplificar a razão (como aqui, dividindo por 2.000), faz o cálculo na mão bem fácil — sem calculadora!

Resposta

Sócio 1: \mathrm{R}\$90.000,00
Sócio 2: \mathrm{R}\$82.500,00
Sócio 3: \mathrm{R}\$67.500,00

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