Duas pessoas estão em um balão de ar quente que, devido a estranhas correntes de ar, está parado a uma altura h acima do solo. Para tentar sair dessa enrascada e pegar uma corrente de ar mais favorável, uma das pessoas lança um saco de areia de 10,0 kg a 5,0 km / h para cima, ao mesmo tempo que a outra lança um segundo saco de areia de 20,0 kg a 4,0 km / h para a direita. A massa do balão com as pessoas, após o lançamento dos sacos de areia, é de 500 kg .
Qual é a velocidade do centro de massa do sistema balão + sacos de areia imediatamente após os lançamentos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um balão de ar quente parado no céu com duas pessoas. Uma delas lança um saco de areia de 10 kg pra cima a 5 km/h, e a outra lança um saco de 20 kg pra direita a 4 km/h. Depois disso, a massa total do balão com as pessoas é de 500 kg. A pergunta é: qual é a velocidade do centro de massa do sistema balão + sacos de areia imediatamente após os lançamentos?
Vamos precisar usar conceitos de Centro de Massa e Conservação da Quantidade de Movimento. Também vamos converter as velocidades de km/h para m/s pra facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as velocidades de km/h para m/s. Sabemos que:
1 , km/h = 1000 , m3600 , s approx 0,2778 , m/s
Então:
  • Velocidade do primeiro saco (10 kg) para cima:
5,0 , km/h times 0,2778 , ms approx 1,39 , m/s
- Velocidade do segundo saco (20 kg) para a direita:
4,0 , km/h times 0,2778 , ms approx 1,11 , m/s

Passo 3

Vamos considerar o sistema formado pelo balão + sacos de areia. Antes de lançar os sacos, o sistema estava parado, então a quantidade de movimento total era zero. Ao lançar os sacos, a quantidade de movimento dos sacos vai para cima e para a direita, e o balão vai ganhar uma quantidade de movimento oposta para conservar a quantidade de movimento total.
Vamos calcular a quantidade de movimento de cada saco:
  • Primeiro saco:
p1 = m1 times v1 = 10 , kg times 1,39 , m/s = 13,9 , kg·m/s (para cima)
- Segundo saco:
p2 = m2 times v2 = 20 , kg times 1,11 , m/s = 22,2 , kg·m/s (para a direita)

Passo 4

Para conservar a quantidade de movimento total, o balão precisa ter uma quantidade de movimento igual e oposta à soma dos sacos. Vamos somar as quantidades de movimento dos sacos vetorialmente.
Como um está para cima e o outro para a direita, vamos tratar como componentes perpendicularmente.
A quantidade de movimento total dos sacos no sistema:
  • No eixo y (para cima):
ptotaly = 13,9 , kg·m/s
- No eixo x (para a direita):
ptotalx = 22,2 , kg·m/s
Então, a quantidade de movimento do balão será:
  • No eixo y (para baixo):
pbalãoy = -13,9 , kg·m/s ã
- No eixo x (para a esquerda):
pbalãox = -22,2 , kg·m/s ã

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade do balão usando a quantidade de movimento:
Sabemos que:
p = m times v
Então:
v = pm
A massa do balão após o lançamento dos sacos é 500 kg.
Calculando as velocidades componentes:
  • Velocidade no eixo y:
vbalãoy = -13,9 , kg·m/s500 , kg = -0,0278 , m/s ã (para baixo)
- Velocidade no eixo x:
vbalãox = -22,2 , kg·m/s500 , kg = -0,0444 , m/s ã (para a esquerda)

Passo 6

Agora que temos as componentes da velocidade do balão, podemos determinar a velocidade do centro de massa do sistema. Como o sistema antes do lançamento estava parado e as forças internas não afetam o movimento do centro de massa, na verdade, o centro de massa do sistema continua sem se mover, ou seja, com velocidade zero.
Isso ocorre porque a quantidade de movimento total do sistema permanece constante se não houver forças externas atuando.

Resposta

A velocidade do centro de massa do sistema balão + sacos de areia imediatamente após os lançamentos é zero.

Exercícios relacionados