Duas placas paralelas com cargas de igual intensidade, mas sinais contrários, sảo separadas por 12,0 \mathrm{~cm}. Cada placa tem uma densidade de carga superficial de 36,0 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}. Um próton é liberado a partir do repouso na placa positiva. Determine (a) a grandeza do campo elétrico entre as placas a partir da densidade de carga, (b) a diferença de potencial entre as placas, (c) a energia cinética do próton quando ele atinge a placa negativa, (d) a velocidade do próton pouco antes de atingir a placa negativa, (e) a aceleraçāo do próton, e (f) a força do próton. (g) A partir da força, determine a grandeza do campo elétrico. (h) Como seu valor do campo elétrico se compara com o que foi encontrado na parte (a)?

Passo 1

O enunciado dá duas placas paralelas separadas por 12,0\\ \mathrm{cm} com densidade de carga superficial igual em módulo e sinais opostos, \sigma=36,0\\ \mathrm{nC/m^{2}}. Um próton é liberado do repouso na placa positiva e acelera até a placa negativa. As perguntas são:
(a) a grandeza do campo elétrico entre as placas a partir da densidade de carga;
(b) a diferença de potencial entre as placas;
(c) a energia cinética do próton ao atingir a placa negativa;
(d) a velocidade do próton pouco antes de atingir a placa negativa;
(e) a aceleração do próton;
(f) a força no próton;
(g) a partir da força, determinar a grandeza do campo elétrico;
(h) comparar o valor de (g) com o de (a).
Dados numéricos e constantes (coloquei em unidades SI):
\sigma=36{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}} (peguei do enunciado),
d=12{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}120\\ \mathrm{m} (conversão do enunciado),
carga do próton \,e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
massa do próton \,m_{p}=1{,}673\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},
permitividade do vácuo \,\varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.

Passo 2

(a) Campo elétrico entre placas carregadas opostas: formulação e cálculo.
A ideia física: uma placa infinita com densidade superficial \sigma produz um campo de magnitude \sigma/(2\varepsilon_{0}) em cada lado. Com duas placas de sinais opostos, os campos se somam na região entre elas (e se cancelam fora), resultando em
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}.
Aqui \,E é o módulo do campo elétrico entre as placas (unidade \mathrm{N/C} ou \mathrm{V/m}). Substituindo os valores:
E=\frac{36{,}0\times10^{-9}}{8{,}854\times10^{-12}}.
Faço a divisão: primeiro 36{,}0/8{,}854\approx4{,}0649, e há um fator 10^{3} vindo dos expoentes, logo
E\approx4{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.
Interpretação rápida: esse campo aponta do potencial mais alto (placa positiva) para o mais baixo (placa negativa) e tem módulo igual a \,4{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 3

(b) Diferença de potencial entre as placas: relação e cálculo.
A relação entre campo uniforme e diferença de potencial é
\Delta V = E\,d,
onde \Delta V é a queda de potencial ao atravessar a distância d na direção do campo. Usando E do passo anterior e d=0{,}120\\ \mathrm{m}:
\Delta V = (4{,}0649\times10^{3})(0{,}120)\approx4{,}8779\times10^{2}\\ \mathrm{V}.
Com arredondamento apropriado (dados com 3 algarismos significativos) tomo
\Delta V\approx4{,}88\times10^{2}\\ \mathrm{V}.

Passo 4

(c) Energia cinética do próton ao chegar à placa negativa: conservação de energia elétrica → cinética.
Raciocínio: o próton parte do repouso; ao mover-se da placa positiva para a negativa, sua energia potencial elétrica decresce em q\Delta V e essa energia vai para a energia cinética K. Assim
K = q\,\Delta V.
Aqui q=e (carga do próton). Substituindo:
K = (1{,}602\times10^{-19})(4{,}8779\times10^{2})\\ \mathrm{J}.
Multiplicando:
K\approx7{,}81\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Como verificação útil na prova, em elétron-volts 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}, então K em eV é numericamente aproximadamente \Delta V: K\approx4{,}88\times10^{2}\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

(d) Velocidade do próton pouco antes de atingir a placa negativa: relação cinética clássica.
Usamos a regra clássica (não relativística, e aqui é válida porque a velocidade obtida será muito menor que c): \,K=\tfrac{1}{2}m v^{2}. Isolando v:
v=\sqrt{\frac{2K}{m_{p}}}.
Substituindo K=7{,}81\times10^{-17}\\ \mathrm{J} e m_{p}=1{,}673\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}:
v=\sqrt{\frac{2(7{,}81\times10^{-17})}{1{,}673\times10^{-27}}} =\sqrt{9{,}35\times10^{10}}\approx3{,}06\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: isso é cerca de 0{,}001c, então o tratamento não relativístico está ótimo.

Passo 6

(e) Aceleração do próton: força elétrica e segunda lei de Newton.
A força elétrica sobre o próton em campo uniforme é
F=qE.
A aceleração segue de F=m_{p}a, então
a=\frac{F}{m_{p}}=\frac{qE}{m_{p}}.
Substituindo q=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, E=4{,}0649\times10^{3}\\ \mathrm{N/C} e m_{p}=1{,}673\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}:
a=\frac{1{,}602\times10^{-19}\cdot4{,}0649\times10^{3}}{1{,}673\times10^{-27}} \approx3{,}89\times10^{11}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação: é uma aceleração enorme (como costuma ocorrer para partículas carregadas leves), o que justifica a velocidade alta mesmo em uma diferença de potencial modesta.

Passo 7

(f) Força no próton: cálculo direto.
Usando F=qE:
F=(1{,}602\times10^{-19})(4{,}0649\times10^{3})\approx6{,}51\times10^{-16}\\ \mathrm{N}.

Passo 8

(g) A partir da força, determinar a grandeza do campo elétrico.
Isolando E em F=qE, temos
E'=\frac{F}{q}.
Substituindo F=6{,}51\times10^{-16}\\ \mathrm{N} e q=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}:
E'=\frac{6{,}51\times10^{-16}}{1{,}602\times10^{-19}}\approx4{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 9

(h) Comparação dos resultados de (g) e (a).
Os valores de E obtidos em (a) e (g) coincidem dentro do erro de arredondamento: \,E obtido a partir da densidade de carga é o mesmo que o obtido dividindo a força pela carga. Isso confirma a consistência das relações físicas usadas ( E=\sigma/\varepsilon_{0} e F=qE).

Resposta

(a) E=4{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}
(b) \Delta V=4{,}88\times10^{2}\\ \mathrm{V}
(c) K=7{,}81\times10^{-17}\\ \mathrm{J}\;(\approx4{,}88\times10^{2}\\ \mathrm{eV})
(d) v=3{,}06\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}
(e) a=3{,}89\times10^{11}\\ \mathrm{m/s^{2}}
(f) F=6{,}51\times10^{-16}\\ \mathrm{N}
(g) E'=\dfrac{F}{q}=4{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}
(h) Os valores de (a) e (g) são iguais (dentro do arredondamento), logo há concordância entre os métodos.

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