Duas placas paralelas com cargas de igual intensidade, mas sinais contrários, sảo separadas por
. Cada placa tem uma densidade de carga superficial de
. Um próton é liberado a partir do repouso na placa positiva. Determine (a) a grandeza do campo elétrico entre as placas a partir da densidade de carga, (b) a diferença de potencial entre as placas, (c) a energia cinética do próton quando ele atinge a placa negativa, (d) a velocidade do próton pouco antes de atingir a placa negativa, (e) a aceleraçāo do próton, e (f) a força do próton. (g) A partir da força, determine a grandeza do campo elétrico. (h) Como seu valor do campo elétrico se compara com o que foi encontrado na parte (a)?
Passo 1
O enunciado dá duas placas paralelas separadas por
com densidade de carga superficial igual em módulo e sinais opostos,
. Um próton é liberado do repouso na placa positiva e acelera até a placa negativa. As perguntas são:
(a) a grandeza do campo elétrico entre as placas a partir da densidade de carga;
(b) a diferença de potencial entre as placas;
(c) a energia cinética do próton ao atingir a placa negativa;
(d) a velocidade do próton pouco antes de atingir a placa negativa;
(e) a aceleração do próton;
(f) a força no próton;
(g) a partir da força, determinar a grandeza do campo elétrico;
(h) comparar o valor de (g) com o de (a).
(a) a grandeza do campo elétrico entre as placas a partir da densidade de carga;
(b) a diferença de potencial entre as placas;
(c) a energia cinética do próton ao atingir a placa negativa;
(d) a velocidade do próton pouco antes de atingir a placa negativa;
(e) a aceleração do próton;
(f) a força no próton;
(g) a partir da força, determinar a grandeza do campo elétrico;
(h) comparar o valor de (g) com o de (a).
Dados numéricos e constantes (coloquei em unidades SI):
(peguei do enunciado),
(conversão do enunciado),
carga do próton ,
massa do próton ,
permitividade do vácuo .
carga do próton
massa do próton
permitividade do vácuo
Passo 2
(a) Campo elétrico entre placas carregadas opostas: formulação e cálculo.
A ideia física: uma placa infinita com densidade superficial produz um campo de magnitude
em cada lado. Com duas placas de sinais opostos, os campos se somam na região entre elas (e se cancelam fora), resultando em
A ideia física: uma placa infinita com densidade superficial
Aqui
é o módulo do campo elétrico entre as placas (unidade
ou
). Substituindo os valores:
Faço a divisão: primeiro
, e há um fator
vindo dos expoentes, logo
Interpretação rápida: esse campo aponta do potencial mais alto (placa positiva) para o mais baixo (placa negativa) e tem módulo igual a
.
Passo 3
(b) Diferença de potencial entre as placas: relação e cálculo.
A relação entre campo uniforme e diferença de potencial é
A relação entre campo uniforme e diferença de potencial é
onde
é a queda de potencial ao atravessar a distância
na direção do campo. Usando
do passo anterior e
:
Com arredondamento apropriado (dados com 3 algarismos significativos) tomo
Passo 4
(c) Energia cinética do próton ao chegar à placa negativa: conservação de energia elétrica → cinética.
Raciocínio: o próton parte do repouso; ao mover-se da placa positiva para a negativa, sua energia potencial elétrica decresce em e essa energia vai para a energia cinética
. Assim
Raciocínio: o próton parte do repouso; ao mover-se da placa positiva para a negativa, sua energia potencial elétrica decresce em
Aqui
(carga do próton). Substituindo:
Multiplicando:
Como verificação útil na prova, em elétron-volts
, então
em eV é numericamente aproximadamente
:
.
Passo 5
(d) Velocidade do próton pouco antes de atingir a placa negativa: relação cinética clássica.
Usamos a regra clássica (não relativística, e aqui é válida porque a velocidade obtida será muito menor que ):
. Isolando
:
Usamos a regra clássica (não relativística, e aqui é válida porque a velocidade obtida será muito menor que
Substituindo
e
:
Comentário prático: isso é cerca de
, então o tratamento não relativístico está ótimo.
Passo 6
(e) Aceleração do próton: força elétrica e segunda lei de Newton.
A força elétrica sobre o próton em campo uniforme é
A força elétrica sobre o próton em campo uniforme é
A aceleração segue de
, então
Substituindo
,
e
:
Interpretação: é uma aceleração enorme (como costuma ocorrer para partículas carregadas leves), o que justifica a velocidade alta mesmo em uma diferença de potencial modesta.
Passo 7
(f) Força no próton: cálculo direto.
Usando :
Usando
Passo 8
(g) A partir da força, determinar a grandeza do campo elétrico.
Isolando em
, temos
Isolando
Substituindo
e
:
Passo 9
(h) Comparação dos resultados de (g) e (a).
Os valores de obtidos em (a) e (g) coincidem dentro do erro de arredondamento:
obtido a partir da densidade de carga é o mesmo que o obtido dividindo a força pela carga. Isso confirma a consistência das relações físicas usadas (
e
).
Os valores de
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) Os valores de (a) e (g) são iguais (dentro do arredondamento), logo há concordância entre os métodos.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) Os valores de (a) e (g) são iguais (dentro do arredondamento), logo há concordância entre os métodos.