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As armaduras de um capacitor plano, a vácuo, medem 30 \mathrm{~cm} \cdot 50 \mathrm{~cm} e estão separadas por uma distância d=2 \mathrm{~mm}. Calcule:
a) a capacitância desse capacitor;
b) a carga que ele receberá quando entre suas armaduras for aplicada uma ddp igual a 2.000 V . (Adote: \varepsilon_{0}=8,8 \cdot 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m}.)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a capacitância do capacitor formado por duas placas retangulares e (b) a carga adquirida quando entre as armaduras é aplicada uma d.d.p. de 2{,}000\\ \mathrm{V}. Dados fornecidos:

As dimensões das armaduras: 30\\ \mathrm{cm} por 50\\ \mathrm{cm}.
A separação entre as placas: d=2\\ \mathrm{mm}.
A permissividade do vácuo: \varepsilon_{0}=8{,}8\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
A diferença de potencial para a parte (b): V=2{,}000\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar: para um capacitor de placas paralelas no vácuo, a capacitância é dada por
C=\frac{\varepsilon_{0}\,A}{d}.
Expliquei a fórmula: C é a capacitância em farads ( \mathrm{F}), \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo em \mathrm{F/m}, A é a área de sobreposição das placas em \mathrm{m^{2}} e d é a separação entre elas em metros. Essa fórmula vem da definição de campo uniforme entre placas paralelas e da relação entre carga e potencial.

Passo 3

Primeiro calculemos a área A. Converter as dimensões para metros:
30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m},\qquad 50\\ \mathrm{cm}=0{,}50\\ \mathrm{m}.
A área é produto dos lados:
A=0{,}30\times0{,}50=0{,}15\\ \mathrm{m^{2}}.
Dica rápida: sempre transforme centímetros em metros dividindo por 100 e milímetros em metros dividindo por 1000.

Passo 4

Converter a distância d para metros:
d=2\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da capacitância substituindo os valores conhecidos. Primeiro simplificamos a fração:
\frac{A}{d}=\frac{0{,}15}{0{,}002}=75.
Portanto
C=\varepsilon_{0}\times75=8{,}8\times10^{-12}\times75.
Multiplicando:
C=6{,}6\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
Converter para unidades mais amigáveis: 1\\ \mathrm{pF}=10^{-12}\\ \mathrm{F}, então
C=660\\ \mathrm{pF}.
Explicação do cálculo: multiplicamos 8{,}8\times75=660 e mantivemos o fator 10^{-12}, resultando em 660\times10^{-12}\\ \mathrm{F}=6{,}6\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.

Passo 6

Para a carga usamos a relação linear entre carga, capacitância e tensão:
Q=C\,V.
Aqui Q é a carga em coulombs ( \mathrm{C}), C a capacitância em farads e V a diferença de potencial em volts.

Passo 7

Substituindo C e V:
Q=6{,}6\times10^{-10}\times2{,}000.
Multiplicando:
Q=1{,}32\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Converter para microcoulombs: 1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}, então
Q=1{,}32\\ \mu\mathrm{C}.
Breve checagem: a ordem de grandeza faz sentido — capacitância sub-nanofarad com milhares de volts dá carga na ordem de microcoulombs.

Passo 8

Resumo prático (para a prova): transformar todas as medidas para o SI, calcular A, aplicar C=\varepsilon_{0}A/d, depois Q=CV. Se esquecer algum passo, concentre-se primeiro nas conversões de unidade — elas são as mais perigosas na hora do gabarito.

Resposta

a) C=6{,}6\times10^{-10}\\ \mathrm{F} (ou 660\\ \mathrm{pF})\n
b) Q=1{,}32\times10^{-6}\\ \mathrm{C} (ou 1{,}32\\ \mu\mathrm{C})

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