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Ligam-se, no vácuo, duas placas paralelas de alumínio a uma bateria de U_{1}=12 \mathrm{~V}. Após desligá-las da fonte, a distância entre elas é duplicada. Determine a nova ddp U_{2} entre as placas.

Passo 1

O enunciado diz que duas placas paralelas de alumínio, ligadas no vácuo a uma bateria de tensão U_{1}=12\,\mathrm{V}, são carregadas e em seguida desligadas da fonte (ficam isoladas). Depois disso, a distância entre as placas é duplicada. A pergunta é: qual é a nova diferença de potencial U_{2} entre as placas após duplicar a distância?
Informações relevantes fornecidas:
  • U_{1}=12\,\mathrm{V} (tensão da bateria enquanto as placas estavam conectadas).
  • As placas são paralelas e estão no vácuo.
  • As placas foram desligadas da bateria antes de mudar a distância (portanto estão eletricamente isoladas).
  • A distância entre as placas é duplicada (seja a distância inicial d, a nova distância é 2d).
  • Pede-se U_{2}, a nova ddp entre as placas após a duplicação da distância.

Passo 2

Conceito de capacitância e fórmula para capacitor de placas paralelas (aula rápida):
  • Um capacitor de placas paralelas tem capacitância dada por
C=\frac{\varepsilon_{0}A}{d},
onde:
  • C é a capacitância (em farads, F),
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante, \varepsilon_{0}\approx8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}),
  • A é a área de sobreposição das placas (em \mathrm{m}^2),
  • d é a distância entre as placas (em m).
Explicação simples: quanto maior a área, mais carga cabe por mesma tensão; quanto maior a distância, mais difícil armazenar carga, logo C diminui com d.

Passo 3

Relação carga, capacitância e tensão:
  • Por definição de capacitância, a carga elétrica armazenada em uma placa (módulo) é
Q=C\,U,
onde:
  • Q é a carga (em coulombs, C),
  • U é a diferença de potencial entre as placas (em V),
  • C é a capacitância.
  • Quando as placas estão ligadas à bateria, elas alcançam U=U_{1} e armazenam uma carga Q=C_{1}U_{1}.
  • Depois de desligadas da bateria, as placas ficam isoladas; portanto, não há caminho para as cargas fugirem: a carga Q nas placas é conservada (assumindo ausência de vazamento). Isso é crucial: Q permanece constante durante o processo de separação.

Passo 4

Escrevendo as quantidades iniciais em símbolos:
  • Capacitância inicial (com distância d):
C_{1}=\frac{\varepsilon_{0}A}{d}.
  • Carga inicial armazenada (enquanto conectadas): usando Q=C_{1}U_{1},
Q=C_{1}U_{1}.

Passo 5

Capacitância após duplicar a distância:
  • Nova distância d_{2}=2d.
  • Nova capacitância:
C_{2}=\frac{\varepsilon_{0}A}{d_{2}}=\frac{\varepsilon_{0}A}{2d}=\frac{1}{2}\,\frac{\varepsilon_{0}A}{d}=\frac{C_{1}}{2}.
Portanto, duplicar a distância reduz a capacitância pela metade.

Passo 6

Determinar a nova diferença de potencial U_{2} sabendo que Q é constante:
  • A nova tensão satisfaz Q=C_{2}U_{2}. Como Q=C_{1}U_{1}, temos
C_{1}U_{1}=C_{2}U_{2}.
  • Substituindo C_{2}=C_{1}/2,
C_{1}U_{1}=\left(\frac{C_{1}}{2}\right)U_{2}.
  • Cancelando C_{1} (não nulo) e resolvendo para U_{2},
U_{2}=2U_{1}.
  • Com U_{1}=12\,\mathrm{V},
U_{2}=2\cdot12\,\mathrm{V}=24\,\mathrm{V}.
Comentário físico rápido (para fixar): ao afastar as placas, a capacitância cai; como a carga não pode sair, a mesma carga fica em menos capacitância, o que faz subir a tensão entre as placas. Alguém precisa fazer trabalho mecânico para afastá-las — é por isso que a energia do capacitor muda — mas isso é só um comentário extra, não era pedido.

Resposta

U_{2}=24\,\mathrm{V}

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