Duas placas paralelas infinitas separadas por uma distância d possuem densidades superficiais de carga uniformes sigma^+e sigma^-. Determine o campo elétrico entre as duas placas, acima do plano superior e abaixo do plano inferior.

Passo 1

Então, a gente tem duas placas paralelas que são super grandes (infinito, na prática), separadas por uma distância $ d d \sigma^{+} sigma^+ \sigma^{-} $). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico gerado por essas placas em três regiões diferentes: entre as duas placas, acima da placa superior e abaixo da placa inferior.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é campo elétrico. Campo elétrico é uma maneira de descrever a força que uma carga exerce sobre outra à distância. No caso de placas carregadas, elas criam um campo elétrico ao seu redor.

Passo 3

Como as placas são infinitas e com cargas uniformes, o campo elétrico gerado por cada placa é uniforme e perpendicular à superfície da placa. Isso simplifica muito a nossa análise.

Passo 4

Vamos considerar cada placa separadamente. Para uma placa infinita com densidade de carga $ \sigma $, o campo elétrico gerado por ela é dado por:
sigma
onde $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade no vácuo.

Passo 5

Agora, temos duas placas: uma com carga positiva ($ \sigma^{+} sigma^+ \sigma^{-} $). O campo elétrico da placa positiva aponta para fora dela, e o da placa negativa aponta para dentro.

Passo 6

Vamos analisar as três regiões:
  1. Entre as placas: Os campos das duas placas se somam porque eles apontam na mesma direção (a placa positiva empurra o campo para fora, e a placa negativa puxa o campo para dentro, ambos direcionando o campo de positiva para negativa).
  2. Acima da placa superior: Os campos das duas placas se cancelam porque eles apontam em direções opostas nessa região.
  3. Abaixo da placa inferior: Novamente, os campos das duas placas se cancelam porque apontam em direções opostas aqui também.

Passo 7

Fazendo as contas:
  • Entre as placas:
Eentre = sigma^+2varepsilon0 + sigma^-2varepsilon0 = sigma^+ + sigma^-2varepsilon0
Como $ \sigma^{-} = -\sigma^{+} $ (porque uma é positiva e a outra negativa):
sigma^- = -sigma^+
  • Acima da placa superior:
Eentre = sigma^+ - sigma^+2varepsilon0 = 2sigma^+2varepsilon0 = sigma^+varepsilon0
No entanto, como os campos se cancelam nessa região, $ E_{acima} = 0 $.
  • Abaixo da placa inferior:
Eacima = sigma^+2varepsilon0 - sigma^-2varepsilon0 = sigma^+ + sigma^+2varepsilon0 = sigma^+varepsilon0
Novamente, os campos se cancelam, então $ E_{abaixo} = 0 $.

Resposta

O campo elétrico gerado pelas duas placas é:
  • Entre as placas: $ E = \dfrac{\sigma^{+}}{\varepsilon_{0}} $
  • Acima da placa superior: $ E = 0 $
  • Abaixo da placa inferior: $ E = 0 $

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