Duas fendas parelelas são iluminadas por uma luz que incide normalmente com um comprimento de onda lambda e produzem uma figura de interferência. As fendas têm largura a e distância d, de modo que d=4 a. Agora incluiremos os efeitos de difração. Se a intensidade em theta=0 é I0, qual é a intensidade em cada um dos ângulos no item (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas fendas paralelas sendo iluminadas por uma luz com comprimento de onda lambda. Essas fendas têm largura a e estão separadas por uma distância d, onde d = 4a. A luz que passa pelas fendas cria um padrão de interferência na tela. Agora, queremos incluir os efeitos de difração e encontrar a intensidade da luz em certos ângulos, sabendo que a intensidade no ângulo theta = 0 é I0.
Vamos precisar usar conceitos de interferência de duas fendas e difração para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos duas fendas iluminadas por uma luz coerente, ocorre interferência construtiva e destrutiva, formando um padrão de franjas na tela. A condição para interferência construtiva (máximos) é:
d sin theta = m lambda
onde:
  • d é a distância entre as fendas,
  • theta é o ângulo em relação à direção central,
  • m é um número inteiro (0, 1, 2, …).
Por outro lado, a difração ocorre devido à largura finita das fendas, e a condição para os mínimos de difração é:
a sin theta = n lambda2
onde:
  • a é a largura de cada fenda,
  • n é um número inteiro (1, 2, 3, …).

Passo 3

No nosso caso, foi dado que d = 4a. Isso significa que a distância entre as fendas é quatro vezes a largura de cada fenda. Vamos usar essa relação para encontrar a intensidade no padrão de interferência considerando a difração.
A intensidade resultante I em um ângulo theta é dada por:
I = I0 ( sin betabeta )^2 cos^2 gamma
onde:
  • beta = pi a sin thetalambda representa o efeito da difração,
  • gamma = pi d sin thetalambda representa o efeito da interferência.
Essa fórmula combina os efeitos de difração e interferência para determinar a intensidade total no padrão.

Passo 4

Vamos agora substituir d = 4a na expressão para gamma:
gamma = pi d sin thetalambda = pi (4a) sin thetalambda = 4 pi a sin thetalambda = 4beta
Então, a expressão para a intensidade fica:
I = I0 ( sin betabeta )^2 cos^2 (4beta)

Passo 5

Para encontrar a intensidade em ângulos específicos, precisamos saber quais ângulos theta estamos analisando. Porém, como o item (a) não está detalhado, vamos considerar que queremos expressar a intensidade em termos gerais usando a relação encontrada.
Portanto, a intensidade em qualquer ângulo theta é dada por:
I = I0 ( sin ( pi a sin thetalambda )pi a sin thetalambda )^2 cos^2 ( 4 pi a sin thetalambda )

Resposta

A intensidade em cada ângulo theta é:
I = I0 ( sin ( pi a sin thetalambda )pi a sin thetalambda )^2 cos^2 ( 4 pi a sin thetalambda )

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