Duas placas planas paralelas muito extensas de área A estão uniformemente carregadas. Uma placa tem carga +q e a outra -q. A distância entre elas é d, bem menor que as dimensões laterais das placas. Qual a magnitude da força de atração entre elas?
(A) \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} d^{2}}
(B) \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} d}
(C) \frac{q^{2}}{\epsilon_{0} A}
(D) \frac{q^{2}}{2 \epsilon_{0} A}
(E) \frac{q^{2}}{2 \pi \epsilon_{0} d}

Passo 1

O enunciado dá duas placas planas paralelas, muito extensas, de área A. Uma placa tem carga +q e a outra tem carga -q. A separação entre elas é d, com d muito menor que as dimensões laterais das placas (então podemos desprezar efeitos de borda). A pergunta é: qual a magnitude da força de atração entre as placas?
Informações relevantes que vou usar:
  • Cargas: +q e -q.
  • Área de cada placa: A.
  • Distância entre placas: d, mas como d é muito menor que as dimensões laterais, podemos tratar as placas como “infinitas” para calcular o campo localmente.
  • Não há outras cargas externas mencionadas.

Passo 2

Primeiro passo prático: introduzir a densidade superficial de carga. Como a carga q está uniformemente distribuída numa placa de área A, a densidade superficial \sigma (carga por unidade de área) é
\sigma=\frac{q}{A}.
Vou usar esse \sigma para calcular o campo elétrico produzido por cada placa.

Passo 3

Agora precisamos do campo elétrico produzido por uma placa infinita uniformemente carregada. Vou derivar isso rapidamente com o Teorema de Gauss (que é perfeito para placas infinitas).
Escolhemos uma “caixa” gaussiana em forma de pílula que atravessa a placa: área das tampas da pílula igual a S. A carga envolvida pela caixa é \sigma S. Pelo Teorema de Gauss,
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.
Como simetria, o campo tem módulo E nas duas faces da pílula e é perpendicular à placa, então o fluxo é E S + E S = 2 E S. Assim
2 E S = \frac{\sigma S}{\epsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}.
Significado das variáveis: \sigma é densidade superficial da placa que produz o campo, \epsilon_0 é a permissividade do vácuo, e E é o módulo do campo em cada lado da placa. Direção: afasta-se da placa se \sigma>0, aponta para a placa se \sigma<0.

Passo 4

Com dois discos/placas opostos com densidades \sigma e -\sigma, aplicamos superposição dos campos. Para locais entre as placas:
  • O campo produzido pela placa positiva aponta para longe desta (ou seja, em direção à placa negativa).
  • O campo produzido pela placa negativa aponta para a placa positiva (também em mesma direção entre elas).
    Portanto, entre as placas os dois campos se somam e o campo total entre elas é
E_{\text{entre}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}+\frac{\sigma}{2\epsilon_0}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}.
Fora das placas (exterior), os campos das duas placas têm sentidos opostos e se cancelam (assumindo placas muito grandes), portanto o campo externo é zero.
Observação importante para calcular a força: uma carga não sofre força devido ao seu próprio campo. Assim, a força sobre uma placa é causada apenas pelo campo produzido pela outra placa. Ou seja, para a placa positiva a intensidade do campo que age sobre ela é o campo produzido pela placa negativa e vice‑versa. O campo produzido por uma única placa (na região próxima) tem módulo \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} (veja Passo 3).

Passo 5

Calcular a força: use a ideia elementar de força sobre carga numa região de campo. A força total sobre a placa com carga q devido ao campo da outra placa é
F = q \, E_{\text{outra}},
onde E_{\text{outra}} é o campo produzido pela placa oposta no local da primeira placa. Pela Passo 3, E_{\text{outra}}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}. Substituindo \sigma=\dfrac{q}{A}, obtemos
E_{\text{outra}}=\frac{1}{2\epsilon_0}\cdot\frac{q}{A}=\frac{q}{2\epsilon_0 A}.
Logo a força tem magnitude
F = q\cdot \frac{q}{2\epsilon_0 A}=\frac{q^{2}}{2\epsilon_0 A}.

Passo 6

Vou dar uma verificação alternativa (mesma resposta, via pressão eletrostática) para fixar a ideia: a pressão (força por unidade de área) exercida entre as placas pode ser escrita como
P=\sigma E_{\text{outra}}=\sigma\cdot\frac{\sigma}{2\epsilon_0}=\frac{\sigma^{2}}{2\epsilon_0}.
Multiplicando pela área A dá a força total
F=P A=\frac{\sigma^{2}}{2\epsilon_0}A=\frac{1}{2\epsilon_0}\cdot\frac{q^{2}}{A},
que é exatamente
F=\frac{q^{2}}{2\epsilon_0 A}.
Essa verificação mostra consistência física: tanto pensando na força sobre a carga total quanto em pressão por unidade de área, o resultado coincide.

Resposta

\frac{q^{2}}{2\epsilon_{0}A}

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