Duas placas planas paralelas muito extensas de área
estão uniformemente carregadas. Uma placa tem carga
e a outra
. A distância entre elas é
, bem menor que as dimensões laterais das placas. Qual a magnitude da força de atração entre elas?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá duas placas planas paralelas, muito extensas, de área
. Uma placa tem carga
e a outra tem carga
. A separação entre elas é
, com
muito menor que as dimensões laterais das placas (então podemos desprezar efeitos de borda). A pergunta é: qual a magnitude da força de atração entre as placas?
Informações relevantes que vou usar:
- Cargas:
e . - Área de cada placa:
. - Distância entre placas:
, mas como é muito menor que as dimensões laterais, podemos tratar as placas como “infinitas” para calcular o campo localmente. - Não há outras cargas externas mencionadas.
Passo 2
Primeiro passo prático: introduzir a densidade superficial de carga. Como a carga
está uniformemente distribuída numa placa de área
, a densidade superficial
(carga por unidade de área) é
Vou usar esse
para calcular o campo elétrico produzido por cada placa.
Passo 3
Agora precisamos do campo elétrico produzido por uma placa infinita uniformemente carregada. Vou derivar isso rapidamente com o Teorema de Gauss (que é perfeito para placas infinitas).
Escolhemos uma “caixa” gaussiana em forma de pílula que atravessa a placa: área das tampas da pílula igual a
. A carga envolvida pela caixa é
. Pelo Teorema de Gauss,
Como simetria, o campo tem módulo
nas duas faces da pílula e é perpendicular à placa, então o fluxo é
. Assim
Significado das variáveis:
é densidade superficial da placa que produz o campo,
é a permissividade do vácuo, e
é o módulo do campo em cada lado da placa. Direção: afasta-se da placa se
, aponta para a placa se
.
Passo 4
Com dois discos/placas opostos com densidades
e
, aplicamos superposição dos campos. Para locais entre as placas:
- O campo produzido pela placa positiva aponta para longe desta (ou seja, em direção à placa negativa).
- O campo produzido pela placa negativa aponta para a placa positiva (também em mesma direção entre elas).
Portanto, entre as placas os dois campos se somam e o campo total entre elas é
Fora das placas (exterior), os campos das duas placas têm sentidos opostos e se cancelam (assumindo placas muito grandes), portanto o campo externo é zero.
Observação importante para calcular a força: uma carga não sofre força devido ao seu próprio campo. Assim, a força sobre uma placa é causada apenas pelo campo produzido pela outra placa. Ou seja, para a placa positiva a intensidade do campo que age sobre ela é o campo produzido pela placa negativa e vice‑versa. O campo produzido por uma única placa (na região próxima) tem módulo
(veja Passo 3).
Passo 5
Calcular a força: use a ideia elementar de força sobre carga numa região de campo. A força total sobre a placa com carga
devido ao campo da outra placa é
onde
é o campo produzido pela placa oposta no local da primeira placa. Pela Passo 3,
. Substituindo
, obtemos
Logo a força tem magnitude
Passo 6
Vou dar uma verificação alternativa (mesma resposta, via pressão eletrostática) para fixar a ideia: a pressão (força por unidade de área) exercida entre as placas pode ser escrita como
Multiplicando pela área
dá a força total
que é exatamente
Essa verificação mostra consistência física: tanto pensando na força sobre a carga total quanto em pressão por unidade de área, o resultado coincide.