Numa dada região do espaço o campo elétrico é uniforme e é \vec{E}=E_{0} \hat{\imath}. Qual o fluxo elétrico sobre a superfície plana de vetor área \vec{A}=A(\sin \theta \cos \varphi \hat{\imath}+\sin \theta \sin \varphi \hat{\jmath}+\cos \theta \hat{k})
(A) E_{0} A
(B) 0
(C) -E_{0} A \cos \theta
(D) E_{0} A \sin \theta \sin \varphi
(E) E_{0} A \sin \theta \cos \varphi

Passo 1

O enunciado pede o fluxo elétrico sobre uma superfície plana cuja área vetorial é dada. Pergunta qual é o valor do fluxo e dá cinco alternativas (A) a (E). Informações fornecidas:
\vec{E}=E_{0}\,\hat{\imath}
\vec{A}=A\bigl(\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\jmath}+\cos\theta\,\hat{k}\bigr)
Ou seja: o campo elétrico é uniforme e aponta na direção x (vetor unitário \hat{\imath}), e a superfície tem vetor área de módulo A e direção dada pelos ângulos \theta e \varphi. A tarefa é calcular o fluxo elétrico e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Vou te ensinar o conceito que precisamos: fluxo elétrico e produto escalar.
O fluxo elétrico através de uma superfície plana é dado pelo produto escalar entre o campo elétrico e o vetor área da superfície. Escrevemos isso como
\Phi=\vec{E}\cdot\vec{A}.
Aqui:
  • \Phi é o fluxo elétrico (um número, com sinal possível),
  • \vec{E} é o campo elétrico (vetor),
  • \vec{A} é o vetor área: seu módulo |\vec{A}|=A é a área da superfície e sua direção é a normal à superfície (o sentido da normal determina o sinal do fluxo).
O produto escalar (ou dot product) entre dois vetores \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Outra forma útil de interpretar o produto escalar é como projeção: \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha, onde \alpha é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Mas aqui é mais direto usar componentes porque o enunciado já deu componentes.

Passo 3

Reescrevendo as componentes dos vetores fornecidos (pega do enunciado):
\vec{E}=E_{0}\,\hat{\imath} \quad\Rightarrow\quad \vec{E}=(E_{0},\,0,\,0).
\vec{A}=A\bigl(\sin\theta\cos\varphi,\;\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\theta\bigr).
Então as componentes de \vec{A} são A_x=A\sin\theta\cos\varphi, A_y=A\sin\theta\sin\varphi, A_z=A\cos\theta.

Passo 4

Agora aplicamos o produto escalar componente a componente:
\Phi=\vec{E}\cdot\vec{A}=E_x A_x + E_y A_y + E_z A_z.
Substituindo as componentes que temos:
E_x=E_{0},\quad E_y=0,\quad E_z=0,
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\Phi=E_{0}\cdot\bigl(A\sin\theta\cos\varphi\bigr) + 0\cdot\bigl(A\sin\theta\sin\varphi\bigr) + 0\cdot\bigl(A\cos\theta\bigr).
Simplificando,
\Phi=E_{0}A\sin\theta\cos\varphi.
Pronto — esse é o fluxo. Fiz passo a passo para você ver de onde vem cada termo: só a componente x do campo contribui, então o produto fica com a componente x do vetor área.

Passo 5

Vamos interpretar e testar alguns casos simples (isso ajuda a fixar):
  • Se a normal da superfície estiver alinhada com o eixo x ( \theta=\pi/2 e \varphi=0 — observe que para \theta=\pi/2, \sin\theta=1), então \Phi=E_{0}A, que faz sentido: campo paralelo à normal e fluxo máximo positivo.
  • Se a normal estiver perpendicular ao eixo x no sentido y ( \theta=\pi/2,\;\varphi=\pi/2), então \cos\varphi=0 e \Phi=0, ou seja, não há fluxo porque \vec{A} não tem componente na direção do campo.
  • Se \varphi=\pi com \theta=\pi/2, então \cos\varphi=-1 e \Phi=-E_{0}A, fluxo máximo negativo (campo oposto à normal).
Esses testes batem com a fórmula e ajudam a ver que o sinal e o valor fazem sentido fisicamente.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão que encontramos corresponde à alternativa (E).

Resposta

(E) E_{0} A \sin\theta \cos\varphi

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