Numa dada região do espaço o campo elétrico é uniforme e é
. Qual o fluxo elétrico sobre a superfície plana de vetor área
(A)
(B) 0
(C)
(D)
(E)
(A)
(B) 0
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede o fluxo elétrico sobre uma superfície plana cuja área vetorial é dada. Pergunta qual é o valor do fluxo e dá cinco alternativas (A) a (E). Informações fornecidas:
Ou seja: o campo elétrico é uniforme e aponta na direção
(vetor unitário
), e a superfície tem vetor área de módulo
e direção dada pelos ângulos
e
. A tarefa é calcular o fluxo elétrico e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Vou te ensinar o conceito que precisamos: fluxo elétrico e produto escalar.
O fluxo elétrico através de uma superfície plana é dado pelo produto escalar entre o campo elétrico e o vetor área da superfície. Escrevemos isso como
O fluxo elétrico através de uma superfície plana é dado pelo produto escalar entre o campo elétrico e o vetor área da superfície. Escrevemos isso como
Aqui:
-
é o fluxo elétrico (um número, com sinal possível), -
é o campo elétrico (vetor), -
é o vetor área: seu módulo é a área da superfície e sua direção é a normal à superfície (o sentido da normal determina o sinal do fluxo).
O produto escalar (ou dot product) entre dois vetores
e
é
Outra forma útil de interpretar o produto escalar é como projeção:
, onde
é o ângulo entre
e
. Mas aqui é mais direto usar componentes porque o enunciado já deu componentes.
Passo 3
Reescrevendo as componentes dos vetores fornecidos (pega do enunciado):
Então as componentes de
são
,
,
.
Passo 4
Agora aplicamos o produto escalar componente a componente:
Substituindo as componentes que temos:
logo
Simplificando,
Pronto — esse é o fluxo. Fiz passo a passo para você ver de onde vem cada termo: só a componente
do campo contribui, então o produto fica com a componente
do vetor área.
Passo 5
Vamos interpretar e testar alguns casos simples (isso ajuda a fixar):
- Se a normal da superfície estiver alinhada com o eixo
( e — observe que para , ), então , que faz sentido: campo paralelo à normal e fluxo máximo positivo. - Se a normal estiver perpendicular ao eixo
no sentido ( ), então e , ou seja, não há fluxo porque não tem componente na direção do campo. - Se
com , então e , fluxo máximo negativo (campo oposto à normal).
Esses testes batem com a fórmula e ajudam a ver que o sinal e o valor fazem sentido fisicamente.
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão que encontramos corresponde à alternativa (E).
Resposta
(E)