Uma partícula puntual de carga
está fixada à origem e um partícula puntual de carga
está fixada na posição
. O campo elétrico é nulo quando?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá duas cargas pontuais fixas sobre o eixo
:
A pergunta é: em que ponto
o campo elétrico resultante é nulo? As alternativas (A)–(E) estão listadas no enunciado.
Passo 2
Vamos pensar quais regiões ao longo do eixo
podem ter campo nulo. Um ponto candidato pode estar:
- à esquerda de
(ou seja, ); - entre as cargas (ou seja,
); - à direita de
(ou seja, ).
Eu preciso verificar a direção dos campos das duas cargas em cada região para saber se é possível haver cancelamento (ou seja, se elas atuam em sentidos opostos).
Passo 3
Regra de direção: uma carga positiva cria um campo apontando para fora (afastando-se dela). Então:
- Para
: tanto a carga em quanto a carga em “empurram” o ponto para a esquerda — os campos têm o mesmo sentido, não se cancelam. Logo, nenhum zero em . - Para
: as duas cargas também empurram para a direita — mesmos sentidos, sem cancelamento. Nada em . - Para
: a carga em cria um campo apontando para a direita no ponto (porque estamos à direita dela), enquanto a carga em cria um campo apontando para a esquerda (porque estamos à esquerda dela). Aí sim pode haver cancelamento. Portanto, o campo pode ser nulo somente para .
Passo 4
Agora escrevemos a igualdade de magnitudes necessária para o cancelamento em
. A lei de Coulomb para o módulo do campo de uma carga puntual é
onde
é constante,
a carga e
a distância entre a carga e o ponto. Para nosso ponto
(com
):
- distância até a carga
(em ) é ; - distância até a carga
(em ) é .
Igualando as magnitudes:
Podemos simplificar
e
dos dois lados, obtendo
Passo 5
Resolver a equação obtida. Tomando recíproco ou reescrevendo:
Desenvolvendo o quadrado:
Isso dá
Passando tudo para um lado:
Ou reescrevendo como equação quadrática padrão em
:
Passo 6
Usamos a fórmula quadrática
. Calculando o discriminante:
Assim
Como
, obtemos
Passo 7
Temos duas soluções:
Agora lembramos da restrição de região: só aceitamos
. Vamos verificar cada solução:
-
(pois ), logo está à direita de — não é física para o nosso caso entre as cargas. -
. Como , temos . Essa é a solução válida.
Passo 8
Para comparar com as alternativas, transformamos
numa forma equivalente mostrada nas opções. Comecemos com a alternativa (C):
Multiplicando numerador e denominador por
(conjugado) para simplificar:
Como
, isso é
ou seja, exatamente
. Portanto a alternativa (C) representa a solução válida. (Como comentário, a alternativa (E) corresponderia à outra raiz
, que não está entre
e
.)
Resposta
(C)