Uma partícula puntual de carga +2 q está fixada à origem e um partícula puntual de carga +q está fixada na posição x=a>0. O campo elétrico é nulo quando?
(A) x=a \sqrt{2}
(B) x=\frac{3 a}{4}
(C) x=\frac{a \sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}
(D) x=\frac{a \sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}
(E) x=\frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais fixas sobre o eixo x:
\text{carga }+2q \text{ em } x=0
\text{carga }+q \text{ em } x=a,\quad a>0
A pergunta é: em que ponto x o campo elétrico resultante é nulo? As alternativas (A)–(E) estão listadas no enunciado.

Passo 2

Vamos pensar quais regiões ao longo do eixo x podem ter campo nulo. Um ponto candidato pode estar:
  • à esquerda de x=0 (ou seja, x<0);
  • entre as cargas (ou seja, 0<x<a);
  • à direita de x=a (ou seja, x>a).
Eu preciso verificar a direção dos campos das duas cargas em cada região para saber se é possível haver cancelamento (ou seja, se elas atuam em sentidos opostos).

Passo 3

Regra de direção: uma carga positiva cria um campo apontando para fora (afastando-se dela). Então:
  • Para x<0: tanto a carga em 0 quanto a carga em a “empurram” o ponto para a esquerda — os campos têm o mesmo sentido, não se cancelam. Logo, nenhum zero em x<0.
  • Para x>a: as duas cargas também empurram para a direita — mesmos sentidos, sem cancelamento. Nada em x>a.
  • Para 0<x<a: a carga +2q em 0 cria um campo apontando para a direita no ponto x (porque estamos à direita dela), enquanto a carga +q em a cria um campo apontando para a esquerda (porque estamos à esquerda dela). Aí sim pode haver cancelamento. Portanto, o campo pode ser nulo somente para 0<x<a.

Passo 4

Agora escrevemos a igualdade de magnitudes necessária para o cancelamento em 0<x<a. A lei de Coulomb para o módulo do campo de uma carga puntual é
E=\frac{k\,Q}{r^{2}},
onde k é constante, Q a carga e r a distância entre a carga e o ponto. Para nosso ponto x (com 0<x<a):
  • distância até a carga +2q (em 0) é \;x\;;
  • distância até a carga +q (em a) é \;a-x\;.
Igualando as magnitudes:
\frac{k\cdot 2q}{x^{2}}=\frac{k\cdot q}{(a-x)^{2}}.
Podemos simplificar k e q dos dois lados, obtendo
\frac{2}{x^{2}}=\frac{1}{(a-x)^{2}}.

Passo 5

Resolver a equação obtida. Tomando recíproco ou reescrevendo:
2(a-x)^{2}=x^{2}.
Desenvolvendo o quadrado:
2(a^{2}-2ax+x^{2})=x^{2}.
Isso dá
2a^{2}-4ax+2x^{2}=x^{2}.
Passando tudo para um lado:
2a^{2}-4ax+x^{2}=0.
Ou reescrevendo como equação quadrática padrão em x:
x^{2}-4ax+2a^{2}=0.

Passo 6

Usamos a fórmula quadrática \;x=\dfrac{4a\pm\sqrt{(4a)^{2}-4\cdot1\cdot 2a^{2}}}{2}\;. Calculando o discriminante:
(4a)^{2}-8a^{2}=16a^{2}-8a^{2}=8a^{2}.
Assim
x=\frac{4a\pm\sqrt{8a^{2}}}{2}=\frac{4a\pm a\sqrt{8}}{2}.
Como \sqrt{8}=2\sqrt{2}, obtemos
x=\frac{4a\pm 2a\sqrt{2}}{2}=a\left(2\pm\sqrt{2}\right).

Passo 7

Temos duas soluções:
x_{1}=a(2+\sqrt{2}),\qquad x_{2}=a(2-\sqrt{2}).
Agora lembramos da restrição de região: só aceitamos 0<x<a. Vamos verificar cada solução:
  • x_{1}=a(2+\sqrt{2})>a (pois 2+\sqrt{2}>1), logo está à direita de a — não é física para o nosso caso entre as cargas.
  • x_{2}=a(2-\sqrt{2}). Como 2-\sqrt{2}\approx 0{,}5858, temos 0<x_{2}<a. Essa é a solução válida.

Passo 8

Para comparar com as alternativas, transformamos x_{2} numa forma equivalente mostrada nas opções. Comecemos com a alternativa (C):
\frac{a\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}.
Multiplicando numerador e denominador por 1-\sqrt{2} (conjugado) para simplificar:
\frac{a\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\cdot\frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} =\frac{a\sqrt{2}(1-\sqrt{2})}{1-(\sqrt{2})^{2}} =\frac{a(\sqrt{2}-2)}{1-2}.
Como 1-2=-1, isso é
\frac{a(\sqrt{2}-2)}{-1}=a(2-\sqrt{2}),
ou seja, exatamente x_{2}. Portanto a alternativa (C) representa a solução válida. (Como comentário, a alternativa (E) corresponderia à outra raiz a(2+\sqrt{2}), que não está entre 0 e a.)

Resposta

(C) \;x=\dfrac{a\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}

Exercícios relacionados