Estime, sob condições ideiais, a separação linear de dois objetos, na superfície do planeta Marte que possam ser resolvidos por um observador na Terra usando (a) a vista desarmada e (b) o telescópio de 5,1 \mathrm{~m} do Monte Palomar. Use os seguintes dados: distância a Marte =8,0 \times 10^{7} \mathrm{~km}, diâmetro da pupila =5,0 \mathrm{~mm} e comprimento de onda da \mathrm{luz}=550 \mathrm{~nm}.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime, em condições ideais, a separação linear mínima entre dois objetos sobre a superfície de Marte que um observador na Terra consegue resolver em dois casos: (a) à vista desarmada e (b) com o telescópio de 5,1\\ \mathrm{m} do Monte Palomar.
Dados fornecidos (vou listar todos claramente):
\text{distância Terra–Marte} = 8,0\times10^{7}\\ \mathrm{km},â
\text{diâmetro da pupila (vista desarmada)} = 5,0\\ \mathrm{mm},â
\text{diâmetro do telescópio} = 5,1\\ \mathrm{m},âó
\text{comprimento de onda da luz} = 550\\ \mathrm{nm}.

Passo 2

Qual é o critério físico que usamos? Em condições ideais (sem turbulência atmosférica, iluminação ótima etc.) o limite de resolução de um sistema de abertura circular é dado pelo critério de Rayleigh. Esse critério dá um ângulo mínimo resolvível \theta (em radianos) pela difração da onda em torno da abertura. A fórmula é:
\theta = 1,22\,\frac{\lambda}{D},
onde:
  • \theta é o ângulo mínimo resolvível (em radianos),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz (em metros),
  • D é o diâmetro da abertura (em metros),
  • o fator 1,22 vem da primeira zero da função de Bessel para uma pupila circular (não se preocupe com os detalhes da Bessel agora; memorize que é o fator padrão para abertura circular).
Depois de obter \theta, usamos a aproximação de ângulo pequeno para converter o ângulo em separação linear s na superfície de Marte:
s \approx L\,\theta,
onde L é a distância Terra–Marte (em metros). Essa aproximação vale porque \theta é pequeno (radianes pequenos).

Passo 3

Converto todos os dados para unidades SI (metros):
\lambda = 550\\ \mathrm{nm} = 5,5\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
D_{\text{pupila}} = 5,0\\ \mathrm{mm} = 5,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
D_{\text{tel}} = 5,1\\ \mathrm{m},
L = 8,0\times10^{7}\\ \mathrm{km} = 8,0\times10^{10}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calculo a resolução angular para a vista desarmada usando a fórmula de Rayleigh:
\theta_{\text{olho}} = 1,22\,\frac{\lambda}{D_{\text{pupila}}} = 1,22\,\frac{5,5\times10^{-7}}{5,0\times10^{-3}}.
Faço a divisão interna primeiro:
\frac{5,5\times10^{-7}}{5,0\times10^{-3}} = 1,10\times10^{-4}.
Multiplicando pelo fator 1,22:
\theta_{\text{olho}} = 1,22\times1,10\times10^{-4} = 1,342\times10^{-4}\\ \mathrm{rad}.
Arredondando razoavelmente:
\theta_{\text{olho}} \approx 1,34\times10^{-4}\\ \mathrm{rad}.

Passo 5

Converto esse ângulo em separação linear sobre Marte usando s=L\theta:
s_{\text{olho}} = L\,\theta_{\text{olho}} = 8,0\times10^{10}\times1,342\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Multiplicando:
s_{\text{olho}} = 1,0736\times10^{7}\\ \mathrm{m}.
É mais legível em quilômetros:
s_{\text{olho}} \approx 1,07\times10^{7}\\ \mathrm{m} = 1,07\times10^{4}\\ \mathrm{km}\approx 1,07\times10^{4}\\ \mathrm{km}.
Ou seja, à vista desarmada, em condições ideais, dois pontos em Marte teriam que estar separados por algo da ordem de 1,07\times10^{4}\\ \mathrm{km} para serem distinguidos — uma distância enorme (maior que o próprio diâmetro de Marte).

Passo 6

Agora repito o procedimento para o telescópio do Monte Palomar com D_{\text{tel}}=5,1\\ \mathrm{m}.
Calculo a resolução angular:
\theta_{\text{tel}} = 1,22\,\frac{\lambda}{D_{\text{tel}}} = 1,22\,\frac{5,5\times10^{-7}}{5,1}.
Faço a divisão interna:
\frac{5,5\times10^{-7}}{5,1} \approx 1,078431\times10^{-7}.
Multiplico pelo fator 1,22:
\theta_{\text{tel}} \approx 1,22\times1,078431\times10^{-7} \approx 1,315\times10^{-7}\\ \mathrm{rad}.
Arredondando:
\theta_{\text{tel}} \approx 1,32\times10^{-7}\\ \mathrm{rad}.

Passo 7

Passo do ângulo para a separação linear na superfície de Marte:
s_{\text{tel}} = L\,\theta_{\text{tel}} = 8,0\times10^{10}\times1,315\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Multiplicando:
s_{\text{tel}} \approx 1,052\times10^{4}\\ \mathrm{m}.
Em quilômetros:
s_{\text{tel}} \approx 1,05\times10^{4}\\ \mathrm{m} = 10,5\\ \mathrm{km}.
Portanto, em condições ideais (difração limitada, sem turbulência atmosférica), o telescópio de 5,1\\ \mathrm{m} consegue resolver separações da ordem de 10\\ \mathrm{km} em Marte.

Passo 8

Comentários rápidos e encorajadores: os números mostram a diferença enorme entre ver a olho nu e com um grande telescópio — o telescópio leva a resolução de dezenas de milhares de vezes melhor. Na prática, porém, a atmosfera da Terra (seeing) e outras limitações (qualidade óptica, detector, processamento) costumam degradar a resolução real; ainda assim, o cálculo mostra a ordem de grandeza esperada. Força aí — você já entendeu o procedimento: usar o critério de Rayleigh para achar \theta e depois multiplicar por L para achar s.

Resposta

Vista desarmada: s \approx 1,07\times10^{7}\\ \mathrm{m} ( \approx 1,07\times10^{4}\\ \mathrm{km})
Telescópio 5{,}1\\ \mathrm{m}: s \approx 1,05\times10^{4}\\ \mathrm{m} ( \approx 10{,}5\\ \mathrm{km})

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