Estime, sob condições ideiais, a separação linear de dois objetos, na superfície do planeta Marte que possam ser resolvidos por um observador na Terra usando (a) a vista desarmada e (b) o telescópio de
do Monte Palomar. Use os seguintes dados: distância a Marte
, diâmetro da pupila
e comprimento de onda da
.
Passo 1
O enunciado pede que eu estime, em condições ideais, a separação linear mínima entre dois objetos sobre a superfície de Marte que um observador na Terra consegue resolver em dois casos: (a) à vista desarmada e (b) com o telescópio de
do Monte Palomar.
Dados fornecidos (vou listar todos claramente):
Dados fornecidos (vou listar todos claramente):
Passo 2
Qual é o critério físico que usamos? Em condições ideais (sem turbulência atmosférica, iluminação ótima etc.) o limite de resolução de um sistema de abertura circular é dado pelo critério de Rayleigh. Esse critério dá um ângulo mínimo resolvível
(em radianos) pela difração da onda em torno da abertura. A fórmula é:
onde:
-
é o ângulo mínimo resolvível (em radianos), -
é o comprimento de onda da luz (em metros), -
é o diâmetro da abertura (em metros), - o fator
vem da primeira zero da função de Bessel para uma pupila circular (não se preocupe com os detalhes da Bessel agora; memorize que é o fator padrão para abertura circular).
Depois de obter
, usamos a aproximação de ângulo pequeno para converter o ângulo em separação linear
na superfície de Marte:
onde
é a distância Terra–Marte (em metros). Essa aproximação vale porque
é pequeno (radianes pequenos).
Passo 3
Converto todos os dados para unidades SI (metros):
Passo 4
Calculo a resolução angular para a vista desarmada usando a fórmula de Rayleigh:
Faço a divisão interna primeiro:
Multiplicando pelo fator
:
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Converto esse ângulo em separação linear sobre Marte usando
:
Multiplicando:
É mais legível em quilômetros:
Ou seja, à vista desarmada, em condições ideais, dois pontos em Marte teriam que estar separados por algo da ordem de
para serem distinguidos — uma distância enorme (maior que o próprio diâmetro de Marte).
Passo 6
Agora repito o procedimento para o telescópio do Monte Palomar com
.
Calculo a resolução angular:
Faço a divisão interna:
Multiplico pelo fator
:
Arredondando:
Passo 7
Passo do ângulo para a separação linear na superfície de Marte:
Multiplicando:
Em quilômetros:
Portanto, em condições ideais (difração limitada, sem turbulência atmosférica), o telescópio de
consegue resolver separações da ordem de
em Marte.
Passo 8
Comentários rápidos e encorajadores: os números mostram a diferença enorme entre ver a olho nu e com um grande telescópio — o telescópio leva a resolução de dezenas de milhares de vezes melhor. Na prática, porém, a atmosfera da Terra (seeing) e outras limitações (qualidade óptica, detector, processamento) costumam degradar a resolução real; ainda assim, o cálculo mostra a ordem de grandeza esperada. Força aí — você já entendeu o procedimento: usar o critério de Rayleigh para achar
e depois multiplicar por
para achar
.
Resposta
Vista desarmada:
(
)
Telescópio :
(
)
Telescópio