De duas populações normais levantaram-se amostras com as seguintes características:
População A | População B |
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Ao nível de
testar se as variância das duas populaçães são iguais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para testar, com nível de significância de 10%, se as variâncias de duas populações normais são iguais. A matéria envolvida aqui é Estatística, mais especificamente teste de hipóteses para comparar variâncias usando o teste F. Vamos precisar dos tamanhos das amostras, das somas dos valores e das somas dos quadrados desses valores para calcular as variâncias das amostras e, depois, comparar essas variâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média de cada amostra. A média é a soma dos valores dividida pelo número de observações.
Para a População A:
Para a População B:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância de cada amostra. A variância é uma medida de dispersão que mostra como os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância amostral é:
Vamos calcular para cada população.
Para a População A:
Para a População B:
Passo 4
Agora que temos as variâncias das duas amostras, vamos realizar o teste F para comparar as variâncias. O teste F utiliza a razão entre as duas variâncias amostrais. A hipótese nula $ H_0 $ é que as variâncias são iguais ($ \sigma_A^2 = \sigma_B^2 $), e a hipótese alternativa $ H_1 $ é que elas são diferentes.
A estatística de teste F é dada por:
Mas para facilitar, geralmente colocamos a maior variância no numerador para que o valor de F seja maior que 1.
Como $ s_B^2 = 6 $ é maior que $ s_A^2 = 0,99 $, vamos inverter:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição F para o nível de significância de 10%. Para isso, verificamos em tabelas de distribuição F os graus de liberdade:
- Graus de liberdade para o numerador ($ df_1 $) = $ n_B - 1 = 9 - 1 = 8 $
- Graus de liberdade para o denominador ($ df_2 $) = $ n_A - 1 = 21 - 1 = 20 $
Consultando uma tabela F ou usando uma calculadora estatística, encontramos o valor crítico $ F_{crítico} $ para $ \alpha = 0,10 $, $ df_1 = 8 $ e $ df_2 = 20 $. Supondo que o valor crítico seja aproximadamente 2,08.
Passo 6
Comparamos o valor calculado de F com o valor crítico:
Como $ F $ calculado é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com nível de significância de 10%, rejeitamos a hipótese de que as variâncias das duas populações são iguais.