De duas populações normais levantaram-se amostras com as seguintes características:
População A População B
n=21 n=9
sum x=100 sum x=45
sum x^2=496 sum x^2=273
Ao nível de 10 % testar se as variância das duas populaçães são iguais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para testar, com nível de significância de 10%, se as variâncias de duas populações normais são iguais. A matéria envolvida aqui é Estatística, mais especificamente teste de hipóteses para comparar variâncias usando o teste F. Vamos precisar dos tamanhos das amostras, das somas dos valores e das somas dos quadrados desses valores para calcular as variâncias das amostras e, depois, comparar essas variâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de cada amostra. A média é a soma dos valores dividida pelo número de observações.
Para a População A:
barxA = sum xn = 10021 approx 4,76
Para a População B:
barxB = sum xn = 459 = 5

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância de cada amostra. A variância é uma medida de dispersão que mostra como os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância amostral é:
s^2 = sum x^2 - (sum x)^2nn - 1
Vamos calcular para cada população.
Para a População A:
sA^2 = 496 - 100^22121 - 1 = 496 - 100002120 = 496 - 476,1920 = 19,8120 approx 0,99
Para a População B:
sB^2 = 273 - 45^299 - 1 = 273 - 202598 = 273 - 2258 = 488 = 6

Passo 4

Agora que temos as variâncias das duas amostras, vamos realizar o teste F para comparar as variâncias. O teste F utiliza a razão entre as duas variâncias amostrais. A hipótese nula $ H_0 $ é que as variâncias são iguais ($ \sigma_A^2 = \sigma_B^2 $), e a hipótese alternativa $ H_1 $ é que elas são diferentes.
A estatística de teste F é dada por:
H0
Mas para facilitar, geralmente colocamos a maior variância no numerador para que o valor de F seja maior que 1.
Como $ s_B^2 = 6 $ é maior que $ s_A^2 = 0,99 $, vamos inverter:
sigmaA^2 = sigmaB^2

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição F para o nível de significância de 10%. Para isso, verificamos em tabelas de distribuição F os graus de liberdade:
  • Graus de liberdade para o numerador ($ df_1 $) = $ n_B - 1 = 9 - 1 = 8 $
  • Graus de liberdade para o denominador ($ df_2 $) = $ n_A - 1 = 21 - 1 = 20 $
Consultando uma tabela F ou usando uma calculadora estatística, encontramos o valor crítico $ F_{crítico} $ para $ \alpha = 0,10 $, $ df_1 = 8 $ e $ df_2 = 20 $. Supondo que o valor crítico seja aproximadamente 2,08.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de F com o valor crítico:
F = 6,06 > Fcrítico = 2,08 í
Como $ F $ calculado é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com nível de significância de 10%, rejeitamos a hipótese de que as variâncias das duas populações são iguais.

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