Um professor leciona uma mesma disciplina para duas turmas A e B, sendo a turma A com 25 alunos e a turma B com 64. Considere as notas dos alunos das duas turmas variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com valor esperado 74 e desvio padrão 14.
Suponha que todos os alunos da turma A façam a primeira prova da disciplina. Calcule a probabilidade aproximada de que a média aritmética das notas dos alunos na turma seja maior que 80. (1,0)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um professor que ensina a mesma matéria para duas turmas: a turma A com 25 alunos e a turma B com 64 alunos. As notas dos alunos são variáveis aleatórias que são independentes umas das outras e têm a mesma distribuição, com média (valor esperado) de 74 e desvio padrão de 14. O professor quer saber qual é a probabilidade de que a média das notas da turma A seja maior que 80 na primeira prova. Vamos usar conceitos de estatística, como a distribuição da média amostral e o Teorema Central do Limite, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a média das notas da turma A () também é uma variável aleatória. Como temos uma amostra de 25 alunos, podemos calcular a média e o desvio padrão dessa média.
Passo 3
A média da média amostral (E[X]) é igual à média da distribuição original, que é 74:
E[X] = mu = 74
Passo 4
O desvio padrão da média amostral (sigmaX) é o desvio padrão original dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra (n):
sigmaX = sigmaraizn = 14raiz25 = 145 = 2,8
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que X > 80. Para isso, vamos padronizar essa variável usando o Z-score, que nos diz quantos desvios padrão a média está acima da média esperada.
Passo 6
Calculamos o Z-score da seguinte forma:
Z = X - musigmaX = 80 - 742,8 = 62,8 approx 2,14
Passo 7
Com o Z-score de aproximadamente 2,14, queremos encontrar a probabilidade de Z ser maior que 2,14. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos que:
P(Z > 2,14) approx 0,0162
Passo 8
Isso significa que há aproximadamente 1,62% de chance de que a média das notas da turma A seja maior que 80 na primeira prova.
Resposta
A probabilidade aproximada de que a média das notas da turma A seja maior que 80 é de 1,62%.