4-) Duas populações são normalmente distribuídas com variâncias \sigma_{1}^{2}=4 e \sigma_{2}^{2}=5. Uma amostra aleatória de 20 elementos de cada população apresentou \bar{x}_{1}=33,5 e \bar{x}_{2}=32,0. Verificar se há diferença entre as médias populacionais, com um nível de significância de 3 \%. Obter o valor- p.
5-) Para verificar se a população II tem média superior à população I, amostras independentes foram retiradas. Sabendo-se que a população I é Normal ( \mu_{1} ; 25 ) e a população II Normal ( \mu_{2} ; 40 ), que conclusão pode ser tirada, com 2 \% de significância? Obter o valor- p. Os valores obtidos foram:

Passo 1

Vou separar claramente o que cada item do enunciado nos dá e o que é pedido.
Para o item 4:
  • Foram dadas as variâncias populacionais: \sigma_{1}^{2}=4 e \sigma_{2}^{2}=5.
  • Tamanhos das amostras: n_{1}=20 e n_{2}=20.
  • Médias amostrais: \bar{x}_{1}=33{,}5 e \bar{x}_{2}=32{,}0.
  • Nível de significância: \alpha=3\% ou \alpha=0{,}03.
  • Pergunta: verificar se há diferença entre as médias populacionais (isto é, testar se \mu_{1}\neq\mu_{2}) e obter o valor- p.
Para o item 5:
  • Informações fornecidas sobre as populações: população I é Normal com variância 25 (ou seja, \sigma_{1}^{2}=25) e população II é Normal com variância 40 (ou seja, \sigma_{2}^{2}=40).
  • Objetivo indicado: verificar se a população II tem média superior à população I, com nível de significância \alpha=2\% ou \alpha=0{,}02.
  • O enunciado termina com “Os valores obtidos foram:” mas esses valores (médias amostrais e tamanhos de amostra) não foram incluídos na mensagem que recebi. Portanto faltam as estatísticas amostrais necessárias para calcular o teste e o p-valor numericamente para o item 5.

Passo 2

Explicação didática do procedimento que vou usar no item 4 (teste para diferença de médias com variâncias populacionais conhecidas).
  1. Hipóteses:
  • Hipótese nula (sem diferença): H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}.
  • Hipótese alternativa (há diferença): H_{1}:\mu_{1}\neq\mu_{2}.
Este é um teste bilateral.
  1. Por que usar este teste (intuição):
  • Quando as variâncias populacionais \sigma_{1}^{2} e \sigma_{2}^{2} são conhecidas e as amostras são independentes e aproximadamente normais (ou n grandes), a diferença entre as médias amostrais \bar X_{1}-\bar X_{2} tem distribuição Normal com média \mu_{1}-\mu_{2} e variância \dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}.
  • Assim padronizamos essa diferença subtraindo o valor esperado sob H_{0} (que é 0) e dividindo pelo desvio padrão da diferença para obter uma estatística Z com distribuição aproximadamente Normal padrão \mathcal{N}(0,1).
  1. Fórmula da estatística de teste (explicando cada termo):
Z \;=\; \frac{\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}}{\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}.
  • \bar{X}_{1} e \bar{X}_{2} são as médias amostrais observadas.
  • \sigma_{1}^{2} e \sigma_{2}^{2} são as variâncias populacionais conhecidas.
  • n_{1} e n_{2} são os tamanhos das amostras.
  • O denominador é o erro padrão (desvio padrão da diferença das médias).
  1. Regra de decisão (teste bilateral):
  • Calcular z. O p-valor é p = 2\bigl(1-\Phi(|z|)\bigr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.
  • Rejeitamos H_{0} se p<\alpha. Alternativamente, podemos rejeitar se |z|>z_{1-\alpha/2}, onde z_{1-\alpha/2} é o quantil correspondente da Normal padrão.

Passo 3

Cálculo numérico para o item 4 (vou executar as contas passo a passo, sem pular etapas).
  1. Diferença de médias observada:
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=33{,}5-32{,}0=1{,}5.
  1. Erro padrão da diferença:
\text{SE}=\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}} =\sqrt{\dfrac{4}{20}+\dfrac{5}{20}} =\sqrt{\dfrac{9}{20}} =\sqrt{0{,}45}.
Agora a raiz:
\sqrt{0{,}45}\approx0{,}670820.
  1. Estatística Z:
Z=\frac{1{,}5}{0{,}670820}\approx2{,}23607.

Passo 4

Cálculo do p-valor e conclusão para o item 4.
  1. p-valor (teste bilateral):
p=2\bigl(1-\Phi(|2{,}23607|)\bigr).
Consultando tabela da Normal padrão ou calculadora, para z=2{,}23607 temos aproximadamente
1-\Phi(2{,}23607)\approx0{,}0127.
Portanto
p\approx2\times0{,}0127=0{,}0254.
  1. Comparação com o nível de significância:
  • \alpha=0{,}03.
  • Como p\approx0{,}0254<0{,}03, rejeitamos H_{0} ao nível de 3\%.
  1. Interpretação prática (em linguagem simples):
  • Há evidência estatística suficiente, ao nível de 3\%, para afirmar que as médias populacionais são diferentes (ou seja, a diferença observada de 1{,}5 é estatisticamente significativa).

Passo 5

Agora explico detalhadamente o procedimento que seria aplicado ao item 5 e por que, com os dados que recebi, não é possível executar os cálculos numéricos finais.
  1. Hipóteses apropriadas (teste unilateral direito, pois queremos verificar se a população II tem média superior):
H_{0}:\mu_{2}=\mu_{1} \qquad\text{versus}\qquad H_{1}:\mu_{2}>\mu_{1}.
(Alternativamente algumas formulações colocam H_{0}:\mu_{2}\le\mu_{1} e H_{1}:\mu_{2}>\mu_{1}; o essencial é que é um teste unilateral à direita.)
  1. Estatística de teste quando as variâncias populacionais são conhecidas ( \sigma_{1}^{2}=25 e \sigma_{2}^{2}=40 como dado):
Z=\frac{\bar{X}_{2}-\bar{X}_{1}}{\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}.
  • Aqui \bar{X}_{1} e \bar{X}_{2} são as médias amostrais que deveriam ter sido fornecidas.
  • n_{1} e n_{2} são os tamanhos das amostras, que também deveriam ter sido informados.
  1. Regra de decisão para nível \alpha=0{,}02 (teste unilateral direito):
  • Rejeita-se H_{0} se Z>z_{1-\alpha}, onde z_{1-\alpha} é o quantil da Normal padrão com área 1-\alpha à esquerda.
  • Para \alpha=0{,}02, z_{1-0{,}02}=z_{0{,}98}\approx2{,}05375 (valor tabelado).
  • O p-valor (unilateral direito) é p = 1-\Phi(Z).
  1. Por que não posso calcular numericamente aqui:
  • O enunciado menciona “Os valores obtidos foram:” e não incluiu \bar{x}_{1}, \bar{x}_{2}, n_{1} e n_{2}.
  • Sem as médias amostrais e os tamanhos das amostras, a estatística Z e, consequentemente, o p-valor e a decisão não podem ser calculados numericamen te.
  • Não se deve adivinhar ou inventar essas quantidades.
  1. O que eu faria assim que esses valores fossem fornecidos:
  • Substituir as médias e tamanhos na fórmula de Z acima, calcular Z, calcular p=1-\Phi(Z) e comparar com \alpha=0{,}02. Se p<0{,}02 (ou Z>2{,}05375), concluir que a população II tem média superior, caso contrário não rejeitar H_{0}.

Resposta

Item 4: Rejeita-se H_{0} ao nível \alpha=0{,}03. Valor- p\approx0{,}0254.
Item 5: Impossível concluir numericamente — faltam as médias amostrais \bar{x}_{1}, \bar{x}_{2} e/ou os tamanhos das amostras n_{1},n_{2}.

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