4-) Duas populações são normalmente distribuídas com variâncias
e
. Uma amostra aleatória de 20 elementos de cada população apresentou
e
. Verificar se há diferença entre as médias populacionais, com um nível de significância de
. Obter o valor-
.
5-) Para verificar se a população II tem média superior à população I, amostras independentes foram retiradas. Sabendo-se que a população I é Normal (
) e a população II Normal (
), que conclusão pode ser tirada, com
de significância? Obter o valor-
. Os valores obtidos foram:
5-) Para verificar se a população II tem média superior à população I, amostras independentes foram retiradas. Sabendo-se que a população I é Normal (
Passo 1
Vou separar claramente o que cada item do enunciado nos dá e o que é pedido.
Para o item 4:
- Foram dadas as variâncias populacionais:
e . - Tamanhos das amostras:
e . - Médias amostrais:
e . - Nível de significância:
ou . - Pergunta: verificar se há diferença entre as médias populacionais (isto é, testar se
) e obter o valor- .
Para o item 5:
- Informações fornecidas sobre as populações: população I é Normal com variância
(ou seja, ) e população II é Normal com variância (ou seja, ). - Objetivo indicado: verificar se a população II tem média superior à população I, com nível de significância
ou . - O enunciado termina com “Os valores obtidos foram:” mas esses valores (médias amostrais e tamanhos de amostra) não foram incluídos na mensagem que recebi. Portanto faltam as estatísticas amostrais necessárias para calcular o teste e o
-valor numericamente para o item 5.
Passo 2
Explicação didática do procedimento que vou usar no item 4 (teste para diferença de médias com variâncias populacionais conhecidas).
- Hipóteses:
- Hipótese nula (sem diferença):
- Hipótese alternativa (há diferença):
Este é um teste bilateral.
- Por que usar este teste (intuição):
- Quando as variâncias populacionais
e são conhecidas e as amostras são independentes e aproximadamente normais (ou n grandes), a diferença entre as médias amostrais tem distribuição Normal com média e variância . - Assim padronizamos essa diferença subtraindo o valor esperado sob
(que é ) e dividindo pelo desvio padrão da diferença para obter uma estatística com distribuição aproximadamente Normal padrão .
- Fórmula da estatística de teste (explicando cada termo):
-
e são as médias amostrais observadas. -
e são as variâncias populacionais conhecidas. -
e são os tamanhos das amostras. - O denominador é o erro padrão (desvio padrão da diferença das médias).
- Regra de decisão (teste bilateral):
- Calcular
. O -valor é
onde
é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.
- Rejeitamos
se . Alternativamente, podemos rejeitar se , onde é o quantil correspondente da Normal padrão.
Passo 3
Cálculo numérico para o item 4 (vou executar as contas passo a passo, sem pular etapas).
- Diferença de médias observada:
- Erro padrão da diferença:
Agora a raiz:
- Estatística
:
Passo 4
Cálculo do
-valor e conclusão para o item 4.
-
-valor (teste bilateral):
Consultando tabela da Normal padrão ou calculadora, para
temos aproximadamente
Portanto
- Comparação com o nível de significância:
-
. - Como
, rejeitamos ao nível de .
- Interpretação prática (em linguagem simples):
- Há evidência estatística suficiente, ao nível de
, para afirmar que as médias populacionais são diferentes (ou seja, a diferença observada de é estatisticamente significativa).
Passo 5
Agora explico detalhadamente o procedimento que seria aplicado ao item 5 e por que, com os dados que recebi, não é possível executar os cálculos numéricos finais.
- Hipóteses apropriadas (teste unilateral direito, pois queremos verificar se a população II tem média superior):
(Alternativamente algumas formulações colocam
e
; o essencial é que é um teste unilateral à direita.)
- Estatística de teste quando as variâncias populacionais são conhecidas (
e como dado):
- Aqui
e são as médias amostrais que deveriam ter sido fornecidas. -
e são os tamanhos das amostras, que também deveriam ter sido informados.
- Regra de decisão para nível
(teste unilateral direito):
- Rejeita-se
se , onde é o quantil da Normal padrão com área à esquerda. - Para
, (valor tabelado). - O
-valor (unilateral direito) é
- Por que não posso calcular numericamente aqui:
- O enunciado menciona “Os valores obtidos foram:” e não incluiu
, , e . - Sem as médias amostrais e os tamanhos das amostras, a estatística
e, consequentemente, o -valor e a decisão não podem ser calculados numericamen te. - Não se deve adivinhar ou inventar essas quantidades.
- O que eu faria assim que esses valores fossem fornecidos:
- Substituir as médias e tamanhos na fórmula de
acima, calcular , calcular e comparar com . Se (ou ), concluir que a população II tem média superior, caso contrário não rejeitar .
Resposta
Item 4: Rejeita-se
ao nível
. Valor-
.
Item 5: Impossível concluir numericamente — faltam as médias amostrais
,
e/ou os tamanhos das amostras
.