Numa linha de produção, é muito importante que o tempo (segundos) gasto numa determinada operação não varie muito de empregado para empregado. Pede-se: a) Qual parâmetro estatístico poderia ser usado para avaliar esse fato? Por quê? b) Se 11 empregados necessitam para realizar essa operação os seguintes tempos: 125 ; 125 ; 135 ; 145 ; 115 ; 125 ; 120 ; 140 ; 150; 130; 130, qual seria a estimativa amostral para esse parâmetro? c) Baseado nesta amostra, formular as hipóteses para verificar se esse parâmetro possui valor maior do que 112 segundos { }^{2}. d) Efetue o teste de hipóteses, com 5 \% de significância. e) Obter uma informação para o valor p.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • O enunciado pede:
    a) escolher um parâmetro estatístico que avalie se o tempo gasto na operação não varia muito entre empregados e justificar;
    b) calcular a estimativa amostral desse parâmetro usando a amostra fornecida;
    c) formular hipóteses para verificar se esse parâmetro tem valor maior que \,112\\ \text{s}^2;
    d) realizar o teste de hipóteses ao nível de significância de 5\%;
    e) obter informação sobre o valor p do teste.
  • A amostra de tamanhos (tempos, em segundos) com n=11 é:
    \,125;\\\ 125;\\\ 135;\\\ 145;\\\ 115;\\\ 125;\\\ 120;\\\ 140;\\\ 150;\\\ 130;\\\ 130.

Passo 2

Qual parâmetro usar e por quê (resposta didática).
  • Para medir “o quanto o tempo varia entre empregados” usamos uma medida de dispersão. As duas mais comuns são:
    • a variância populacional \sigma^2, que mede a média dos quadrados das diferenças em relação à média; tem unidade \text{s}^2;
    • o desvio-padrão populacional \sigma, raiz quadrada da variância, tem unidade \text{s} e é mais intuitivo.
  • No enunciado a hipótese refere-se a 112\\ \text{s}^2 (unidade ao quadrado), logo o parâmetro natural a testar é a variância populacional \sigma^2.
  • Didaticamente: a variância é boa porque agrega quanto, em média, os tempos se afastam da média; se \sigma^2 for pequena, os tempos são mais homogêneos entre empregados.

Passo 3

Cálculo da estimativa amostral da variância (passo a passo).
  • Primeiro calculemos a média amostral \bar X.
    \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i=\frac{125+125+135+145+115+125+120+140+150+130+130}{11}.
    A soma é \,1440, portanto
    \bar X=\frac{1440}{11}=130,909090\ldots
    Vou usar \bar X\approx130,9091.
  • A estimativa não viesada da variância amostral é
    S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2.
    Calculando os quadrados das diferenças (mostrados em forma agregada) obtém-se
    \sum_{i=1}^{11}(X_i-\bar X)^2=\frac{138050}{121}=1140,90909\ldots
    (detalhe: a soma dos quadrados das diferenças foi obtida somando cada (X_i-\bar X)^2 — ver contas no raciocínio; o resultado em forma fracionária é útil para exatidão).
  • Assim,
    S^2=\frac{1}{11-1}\cdot1140,90909\ldots=\frac{1140,90909\ldots}{10}=114,090909\ldots
    Arredondando razoavelmente, \;S^2\approx114,09\\ \text{s}^2.

Passo 4

Formulação das hipóteses (forma apropriada para teste unilateral à direita).
  • Como queremos verificar se a variância é maior que 112\\ \text{s}^2, escrevemos: H_0:\\ \sigma^2\le 112
H_1:\\ \sigma^2>112.
  • Alternativamente a forma equivalente para teste clássico é H_0:\\ \sigma^2=112 contra H_1:\\ \sigma^2>112; ao realizar o teste usamos a estatística sob a hipótese nula.

Passo 5

Escolha do teste e pressupostos (explicação didática).
  • Para testar hipóteses sobre \sigma^2 com amostra de uma população normal, usa-se a estatística qui‑quadrado: \chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2},onde \sigma_0^2 é o valor sob H_0 (aqui 112) e \chi^2 segue, sob H_0, a distribuição \chi^2 com n-1 graus de liberdade.
  • Pressuposto necessário: os tempos seguem aproximadamente uma distribuição normal (ou, em amostras pequenas, que essa hipótese seja razoável). Se a normalidade for grosseiramente violada, o teste perde exatidão.

Passo 6

Cálculo da estatística de teste.
  • Temos n=11, n-1=10, S^2\approx114,090909 e \sigma_0^2=112. Então \chi^2=\frac{10\cdot114,090909\ldots}{112}=\frac{1140,90909\ldots}{112}\approx10,1899.

Passo 7

Regra de decisão com \alpha=5\%.
  • Para um teste unilateral à direita com df=10 e nível \alpha=0,05, o valor crítico é \chi^2_{0,95;\,10}\approx18,307.(isto é, a área à direita de 18,307 é 0,05.)
  • Comparando: \chi^2_{obs}\approx10,1899<18,307. Logo não rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.
  • Interpretação prática: não há evidência suficiente, com 5% de significância, para afirmar que a variância verdadeira é maior do que 112\\ \text{s}^2.

Passo 8

Cálculo aproximado do valor p e interpretação.
  • O p-valor para um teste unilateral à direita é p=P\big(\chi^2_{10}\ge \chi^2_{obs}\big)=1-F_{\chi^2_{10}}(\chi^2_{obs}).
  • Usando uma aproximação normal para a distribuição qui‑quadrado (válida para df moderado) ou tabelas/softwares, obtém‑se aproximadamente p\approx0,48.(isto é, cerca de 48\%.)
  • Conclusão via p-valor: como p\gg0,05, novamente não rejeitamos H_0. O dado é compatível com \sigma^2=112 ou valores menores; não há evidência de que a variância exceda 112\\ \text{s}^2.

Passo 9

Resumo final e comentário de incentivo (rápido).
  • Em linguagem prática: a variabilidade observada na amostra dá uma estimativa de variância amostral de aproximadamente \,114,09\\ \text{s}^2, que é um pouquinho maior que 112, mas essa diferença não é estatisticamente significativa ao nível de 5\%. Portanto, com a amostra disponível não há base para afirmar que a variância verdadeira excede 112\\ \text{s}^2.
  • Força aí — os cálculos de variância e do teste qui‑quadrado são padrões em estatística de controle de qualidade; com calma você consegue aplicá‑los na prova.

Resposta

a) \sigma^2 (variância populacional), porque mede a dispersão dos tempos em \text{s}^2.
b) S^2\approx114,09\\ \text{s}^2.
c) H_0:\\ \sigma^2\le112 versus H_1:\\ \sigma^2>112.
d) Estatística \chi^2\approx10,1899; \chi^2_{0,95;10}\approx18,307. Decisão: não rejeita H_0 ao nível de 5\%.
e) p\text{-value}\approx0,48.

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