Numa linha de produção, é muito importante que o tempo (segundos) gasto numa determinada operação não varie muito de empregado para empregado. Pede-se: a) Qual parâmetro estatístico poderia ser usado para avaliar esse fato? Por quê? b) Se 11 empregados necessitam para realizar essa operação os seguintes tempos:
; 150; 130; 130, qual seria a estimativa amostral para esse parâmetro? c) Baseado nesta amostra, formular as hipóteses para verificar se esse parâmetro possui valor maior do que 112 segundos
. d) Efetue o teste de hipóteses, com
de significância. e) Obter uma informação para o valor
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
-
O enunciado pede:
a) escolher um parâmetro estatístico que avalie se o tempo gasto na operação não varia muito entre empregados e justificar;
b) calcular a estimativa amostral desse parâmetro usando a amostra fornecida;
c) formular hipóteses para verificar se esse parâmetro tem valor maior que;
d) realizar o teste de hipóteses ao nível de significância de;
e) obter informação sobre o valordo teste. -
A amostra de tamanhos (tempos, em segundos) com
é:
Passo 2
Qual parâmetro usar e por quê (resposta didática).
- Para medir “o quanto o tempo varia entre empregados” usamos uma medida de dispersão. As duas mais comuns são:
- a variância populacional
, que mede a média dos quadrados das diferenças em relação à média; tem unidade ; - o desvio-padrão populacional
, raiz quadrada da variância, tem unidade e é mais intuitivo.
- a variância populacional
- No enunciado a hipótese refere-se a
(unidade ao quadrado), logo o parâmetro natural a testar é a variância populacional . - Didaticamente: a variância é boa porque agrega quanto, em média, os tempos se afastam da média; se
for pequena, os tempos são mais homogêneos entre empregados.
Passo 3
Cálculo da estimativa amostral da variância (passo a passo).
-
Primeiro calculemos a média amostral
. A soma é, portanto Vou usar. -
A estimativa não viesada da variância amostral éCalculando os quadrados das diferenças (mostrados em forma agregada) obtém-se(detalhe: a soma dos quadrados das diferenças foi obtida somando cada
— ver contas no raciocínio; o resultado em forma fracionária é útil para exatidão). -
Assim,Arredondando razoavelmente,
Passo 4
Formulação das hipóteses (forma apropriada para teste unilateral à direita).
- Como queremos verificar se a variância é maior que
, escrevemos:
- Alternativamente a forma equivalente para teste clássico é
contra ; ao realizar o teste usamos a estatística sob a hipótese nula.
Passo 5
Escolha do teste e pressupostos (explicação didática).
- Para testar hipóteses sobre
com amostra de uma população normal, usa-se a estatística qui‑quadrado: onde é o valor sob (aqui ) e segue, sob , a distribuição com graus de liberdade. - Pressuposto necessário: os tempos seguem aproximadamente uma distribuição normal (ou, em amostras pequenas, que essa hipótese seja razoável). Se a normalidade for grosseiramente violada, o teste perde exatidão.
Passo 6
Cálculo da estatística de teste.
- Temos
, , e . Então
Passo 7
Regra de decisão com
.
- Para um teste unilateral à direita com
e nível , o valor crítico é (isto é, a área à direita de é .) - Comparando:
. Logo não rejeitamos ao nível de . - Interpretação prática: não há evidência suficiente, com 5% de significância, para afirmar que a variância verdadeira é maior do que
.
Passo 8
Cálculo aproximado do valor
e interpretação.
- O
-valor para um teste unilateral à direita é - Usando uma aproximação normal para a distribuição qui‑quadrado (válida para
moderado) ou tabelas/softwares, obtém‑se aproximadamente (isto é, cerca de .) - Conclusão via
-valor: como , novamente não rejeitamos . O dado é compatível com ou valores menores; não há evidência de que a variância exceda .
Passo 9
Resumo final e comentário de incentivo (rápido).
- Em linguagem prática: a variabilidade observada na amostra dá uma estimativa de variância amostral de aproximadamente
, que é um pouquinho maior que , mas essa diferença não é estatisticamente significativa ao nível de . Portanto, com a amostra disponível não há base para afirmar que a variância verdadeira excede . - Força aí — os cálculos de variância e do teste qui‑quadrado são padrões em estatística de controle de qualidade; com calma você consegue aplicá‑los na prova.
Resposta
a)
(variância populacional), porque mede a dispersão dos tempos em
.
b)
c)
versus
d) Estatística ;
. Decisão: não rejeita
ao nível de
.
e)
b)
c)
d) Estatística
e)