Ainda considerando as funções f e g como no exercício anterior, determine a expressão e domínio de cada uma das composições abaixo.
(g \circ g)(x)=g(g(x))

Passo 1

O enunciado pede para determinar a expressão e o domínio de (g\circ g)(x)=g(g(x)). As informações do enunciado original referem-se às funções f e g do exercício anterior, mas neste texto não foi fornecida a forma explícita de g (nem de f). Portanto, não há dados numéricos ou simbólicos de g neste enunciado.
Pergunta(s) claras:
  • Determinar a expressão de (g\circ g)(x).
  • Determinar o domínio de (g\circ g).
Informações relevantes dadas:
  • O enunciado só referencia a função g do exercício anterior, porém a definição de g não foi fornecida aqui.
Conclusão deste passo: com a falta da definição explícita de g, não é possível calcular uma expressão concreta para (g\circ g)(x) nem seu domínio numérico específico. A seguir eu explico exatamente como se faz esse cálculo quando g for conhecida e dou exemplos ilustrativos, para que você saiba aplicar o procedimento na prova.

Passo 2

O que significa compor uma função consigo mesma?
Definição e notação:
  • A composição (g\circ g)(x) significa aplicar g em x e depois aplicar g novamente ao resultado. Em símbolos:
(g\circ g)(x)=g(g(x)).
  • Aqui x é a variável de entrada; g(x) é o valor obtido ao aplicar g; e então g(g(x)) aplica g sobre esse valor.
Como calcular a expressão (passo a passo):
  1. Escreva a expressão de g(x) (isso precisa ser fornecido).
  2. Substitua a ocorrência da variável x na expressão de g por g(x). Ou seja, onde na fórmula de g aparece x, coloque g(x).
  3. Simplifique a expressão resultante para obter g(g(x)).
Exemplo simbólico genérico: se g(x)=\text{alguma expressão em }xã, então
g(g(x))=\text{a mesma fórmula de }g\text{, com }x\text{ substituído por }g(x).óí

Passo 3

Como determinar o domínio de (g\circ g)?
Regra geral para o domínio:
  • O domínio de (g\circ g) é o conjunto de todos os x que satisfazem duas condições:
    1. x pertence ao domínio de g (o valor g(x) está definido);
    2. o valor g(x) pertence ao domínio de g (o valor resultante pode ser novamente usado como entrada de g).
Em forma de conjunto:
\operatorname{dom}(g\circ g)=\{\,x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(g)\,\}.
Como aplicar na prática (passos):
  1. Liste as restrições que definem \operatorname{dom}(g) (por exemplo: denominadores diferentes de zero, argumentos de raiz quadrada \ge0, argumentos de logaritmo >0, etc.).
  2. Exija que x satisfaça essas restrições (isso garante g(x) está definido).
  3. Escreva a condição que exige que g(x) também satisfaça as mesmas restrições (isso garante que a aplicação externa de g é válida).
  4. Interseccione as condições do passo 2 e do passo 3 para obter o domínio final.

Passo 4

Exemplo 1 (caso simples, polinomial) — ilustração passo a passo:
  • Suponha g(x)=x^2+1.
  1. Primeiro calcule g(x)=x^2+1.
  2. Substitua x por g(x) na fórmula de g:
g(g(x))=(g(x))^2+1=(x^2+1)^2+1.
  1. Domínio: como polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}, temos \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}. Além disso g(x)=x^2+1 também toma valores em [1,\infty)\subset\mathbb{R}, que pertencem ao domínio original. Portanto
\operatorname{dom}(g\circ g)=\mathbb{R}.
Comentário: aqui não houve restrição extra porque aplicar g a qualquer real dá outro real válido.

Passo 5

Exemplo 2 (caso com restrição, racional) — ilustração passo a passo:
  • Suponha g(x)=\dfrac{1}{x-2}.
  1. Primeiro calcule g(x)=\dfrac{1}{x-2}.
  2. Substitua x por g(x) na fórmula de g:
g(g(x))=\frac{1}{\,g(x)-2\,}=\frac{1}{\dfrac{1}{x-2}-2}.
  1. Simplifique a expressão:
\frac{1}{\dfrac{1}{x-2}-2}=\frac{1}{\dfrac{1-2(x-2)}{x-2}}=\frac{x-2}{1-2(x-2)}.
  1. Agora o domínio: primeiro, \operatorname{dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ne 2\} porque o denominador x-2 não pode ser zero.
  2. Além disso, para que a segunda aplicação seja válida, precisa-se de g(x)\ne 2 (pois o denominador da aplicação externa é g(x)-2). Então resolvemos:
g(x)=\frac{1}{x-2}\ne 2 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x-2}\ne 2 \quad\Rightarrow\quad 1\ne 2(x-2)\quad\Rightarrow\quad 2(x-2)\ne 1.
Isto é
x-2\ne \frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x\ne 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.
  1. Intersecção das condições: x\ne 2 e x\ne \tfrac{5}{2}. Logo
\operatorname{dom}(g\circ g)=\mathbb{R}\setminus\left\{2,\tfrac{5}{2}\right\}.
Observação: esses passos mostram por que é preciso verificar tanto domínio original quanto a imagem do interno não cair em valores proibidos.

Passo 6

Resumo do procedimento que você deve aplicar na prova (prático e direto):
  1. Anote explicitamente g(x) (obrigatório).
  2. Faça a substituição: onde estiver x na definição de g, coloque g(x) para obter g(g(x)).
  3. Simplifique cuidadosamente, passo a passo, evitando erros algébricos.
  4. Determine o domínio:
    • parta de \operatorname{dom}(g) (condições sobre x);
    • imponha também que g(x) satisfaça as mesmas condições (condições sobre g(x));
    • intersecte as duas condições para obter \operatorname{dom}(g\circ g).
  5. Verifique pontos críticos (denominadores, radicais, logaritmos, etc.) e exclua-os quando necessário.

Resposta

Não é possível determinar a expressão e o domínio de (g\circ g)(x) porque a função g não foi fornecida.

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