Ainda considerando as funções
e
como no exercício anterior, determine a expressão e domínio de cada uma das composições abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a expressão e o domínio de
. As informações do enunciado original referem-se às funções
e
do exercício anterior, mas neste texto não foi fornecida a forma explícita de
(nem de
). Portanto, não há dados numéricos ou simbólicos de
neste enunciado.
Pergunta(s) claras:
- Determinar a expressão de
. - Determinar o domínio de
.
Informações relevantes dadas:
- O enunciado só referencia a função
do exercício anterior, porém a definição de não foi fornecida aqui.
Conclusão deste passo: com a falta da definição explícita de
, não é possível calcular uma expressão concreta para
nem seu domínio numérico específico. A seguir eu explico exatamente como se faz esse cálculo quando
for conhecida e dou exemplos ilustrativos, para que você saiba aplicar o procedimento na prova.
Passo 2
O que significa compor uma função consigo mesma?
Definição e notação:
- A composição
significa aplicar em e depois aplicar novamente ao resultado. Em símbolos:
- Aqui
é a variável de entrada; é o valor obtido ao aplicar ; e então aplica sobre esse valor.
Como calcular a expressão (passo a passo):
- Escreva a expressão de
(isso precisa ser fornecido). - Substitua a ocorrência da variável
na expressão de por . Ou seja, onde na fórmula de aparece , coloque . - Simplifique a expressão resultante para obter
.
Exemplo simbólico genérico: se
, então
Passo 3
Como determinar o domínio de
?
Regra geral para o domínio:
- O domínio de
é o conjunto de todos os que satisfazem duas condições: -
pertence ao domínio de (o valor está definido); - o valor
pertence ao domínio de (o valor resultante pode ser novamente usado como entrada de ).
-
Em forma de conjunto:
Como aplicar na prática (passos):
- Liste as restrições que definem
(por exemplo: denominadores diferentes de zero, argumentos de raiz quadrada , argumentos de logaritmo , etc.). - Exija que
satisfaça essas restrições (isso garante está definido). - Escreva a condição que exige que
também satisfaça as mesmas restrições (isso garante que a aplicação externa de é válida). - Interseccione as condições do passo 2 e do passo 3 para obter o domínio final.
Passo 4
Exemplo 1 (caso simples, polinomial) — ilustração passo a passo:
- Suponha
.
- Primeiro calcule
. - Substitua
por na fórmula de :
- Domínio: como polinômios estão definidos para todo
, temos . Além disso também toma valores em , que pertencem ao domínio original. Portanto
Comentário: aqui não houve restrição extra porque aplicar
a qualquer real dá outro real válido.
Passo 5
Exemplo 2 (caso com restrição, racional) — ilustração passo a passo:
- Suponha
.
- Primeiro calcule
. - Substitua
por na fórmula de :
- Simplifique a expressão:
- Agora o domínio: primeiro,
porque o denominador não pode ser zero. - Além disso, para que a segunda aplicação seja válida, precisa-se de
(pois o denominador da aplicação externa é ). Então resolvemos:
Isto é
- Intersecção das condições:
e . Logo
Observação: esses passos mostram por que é preciso verificar tanto domínio original quanto a imagem do interno não cair em valores proibidos.
Passo 6
Resumo do procedimento que você deve aplicar na prova (prático e direto):
- Anote explicitamente
(obrigatório). - Faça a substituição: onde estiver
na definição de , coloque para obter . - Simplifique cuidadosamente, passo a passo, evitando erros algébricos.
- Determine o domínio:
- parta de
(condições sobre ); - imponha também que
satisfaça as mesmas condições (condições sobre ); - intersecte as duas condições para obter
.
- parta de
- Verifique pontos críticos (denominadores, radicais, logaritmos, etc.) e exclua-os quando necessário.
Resposta
Não é possível determinar a expressão e o domínio de
porque a função
não foi fornecida.