Nas duas relações dadas a seguir, verifique se elas são ou não funções, justificando sua resposta.
f é uma relação de A=\{-1,0,1,2\} em B=\{0,2,4,6,8\} expressa pela fórmula y=-2 x, \operatorname{com} x \in A e y \in B.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as duas relações dadas são ou não funções, justificando. As informações fornecidas são:
  • O conjunto de partida (domínio proposto) é A=\{-1,0,1,2\}.
  • O conjunto de chegada (codomínio proposto) é B=\{0,2,4,6,8\}.
  • A primeira relação é dada pela fórmula y=-2x, com x\in A e y\in B.
  • O enunciado menciona “duas relações”, mas foi fornecida apenas a relação com a fórmula y=-2x. A segunda relação não foi informada, portanto não há como analisá‑la aqui.

Passo 2

O que significa “ser uma função” (explicação didática e sem pular etapas).
  • Uma relação f de A em B é um conjunto de pares ordenados (x,y) com x\in A e y\in B.
  • Dizemos que essa relação é uma função (mais formal: f\colon A\to B) quando, para todo x\in A, existem exatamente (1) um e (2) só um elemento y\in B tal que (x,y)\in f.
    • Em palavras simples: cada elemento do conjunto A tem uma imagem em B, e não pode ter duas imagens diferentes.
  • Portanto, para testar se a relação definida por y=-2x é função A\to B temos que verificar, para cada x\in A:
    1. Existe y\in B tal que y=-2x? (condição de existência)
    2. Se existir, é única? (condição de unicidade)

Passo 3

Aplicando a fórmula y=-2x a cada x\in A e verificando se o resultado pertence a B. Vou calcular passo a passo e dizer se o y resultante está em B.
  • Para x=-1:
    y=-2\cdot(-1)=2.
    Verificação: 2\in B (porque B=\{0,2,4,6,8\}). Logo existe uma imagem em B para x=-1.
  • Para x=0:
    y=-2\cdot 0=0.
    Verificação: 0\in B. Logo existe uma imagem em B para x=0.
  • Para x=1:
    y=-2\cdot 1=-2.
    Verificação: -2\notin B (os elementos de B são todos não negativos: 0,2,4,6,8). Portanto NÃO existe y\in B igual a -2. Ou seja, para x=1 não há par (1,y) na relação quando exigimos y\in B.
  • Para x=2:
    y=-2\cdot 2=-4.
    Verificação: -4\notin B. Então também NÃO existe y\in B correspondente a x=2.

Passo 4

Verificação da unicidade (para completar a definição de função).
  • A fórmula y=-2x dá, para cada x, um único valor numérico para y. Assim, se o valor computado y=-2x pertence a B, não há qualquer ambiguidade: a imagem é única.
  • Nos casos onde encontramos y\in B (para x=-1 e x=0), a unicidade está garantida pela própria fórmula.
  • Porém, para x=1 e x=2 não há valor de y\in B que satisfaça y=-2x, portanto a condição de existência falha para esses elementos do domínio A.

Passo 5

Conclusão e interpretação final (explicação didática para o motivo).
  • Para que a relação seja uma função f\colon A\to B é necessário que TODO elemento de A tenha uma imagem em B.
  • Aqui encontramos que:
    • x=-1 tem imagem y=2\in B.
    • x=0 tem imagem y=0\in B.
    • x=1 NÃO tem imagem em B (porque -2\notin B).
    • x=2 NÃO tem imagem em B (porque -4\notin B).
  • Como há elementos de A sem imagem em B, a relação dada não satisfaz a definição de função de A em B.
Observação útil: se o codomínio tivesse sido o conjunto dos números inteiros \mathbb{Z} ou dos reais \mathbb{R}, então a mesma regra y=-2x daria uma função A\to\mathbb{Z} (ou A\to\mathbb{R}), porque todos os y calculados pertencem a esses conjuntos. Aqui o problema é a restrição do codomínio a B.

Resposta

  1. A relação definida por y=-2x com x\in A e y\in B não é função de A em B, pois x=1 e x=2 não têm imagem em B.
  2. Não há como verificar a segunda relação porque ela não foi fornecida no enunciado.

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