Nas duas relações dadas a seguir, verifique se elas são ou não funções, justificando sua resposta.
é uma relação de
em
expressa pela fórmula
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as duas relações dadas são ou não funções, justificando. As informações fornecidas são:
- O conjunto de partida (domínio proposto) é
. - O conjunto de chegada (codomínio proposto) é
. - A primeira relação é dada pela fórmula
, com e . - O enunciado menciona “duas relações”, mas foi fornecida apenas a relação com a fórmula
. A segunda relação não foi informada, portanto não há como analisá‑la aqui.
Passo 2
O que significa “ser uma função” (explicação didática e sem pular etapas).
- Uma relação
de em é um conjunto de pares ordenados com e . - Dizemos que essa relação é uma função (mais formal:
) quando, para todo , existem exatamente (1) um e (2) só um elemento tal que . - Em palavras simples: cada elemento do conjunto
tem uma imagem em , e não pode ter duas imagens diferentes.
- Em palavras simples: cada elemento do conjunto
- Portanto, para testar se a relação definida por
é função temos que verificar, para cada : - Existe
tal que ? (condição de existência) - Se existir, é única? (condição de unicidade)
- Existe
Passo 3
Aplicando a fórmula
a cada
e verificando se o resultado pertence a
. Vou calcular passo a passo e dizer se o
resultante está em
.
-
Para
: Verificação:(porque ). Logo existe uma imagem em para . -
Para
: Verificação:. Logo existe uma imagem em para . -
Para
: Verificação:(os elementos de são todos não negativos: ). Portanto NÃO existe igual a . Ou seja, para não há par na relação quando exigimos . -
Para
: Verificação:. Então também NÃO existe correspondente a .
Passo 4
Verificação da unicidade (para completar a definição de função).
- A fórmula
dá, para cada , um único valor numérico para . Assim, se o valor computado pertence a , não há qualquer ambiguidade: a imagem é única. - Nos casos onde encontramos
(para e ), a unicidade está garantida pela própria fórmula. - Porém, para
e não há valor de que satisfaça , portanto a condição de existência falha para esses elementos do domínio .
Passo 5
Conclusão e interpretação final (explicação didática para o motivo).
- Para que a relação seja uma função
é necessário que TODO elemento de tenha uma imagem em . - Aqui encontramos que:
-
tem imagem . -
tem imagem . -
NÃO tem imagem em (porque ). -
NÃO tem imagem em (porque ).
-
- Como há elementos de
sem imagem em , a relação dada não satisfaz a definição de função de em .
Observação útil: se o codomínio tivesse sido o conjunto dos números inteiros
ou dos reais
, então a mesma regra
daria uma função
(ou
), porque todos os
calculados pertencem a esses conjuntos. Aqui o problema é a restrição do codomínio a
.
Resposta
- A relação definida por
com e não é função de em , pois e não têm imagem em . - Não há como verificar a segunda relação porque ela não foi fornecida no enunciado.