Duas retas se interceptam formando um ângulo de 135^{\circ} para o qual a reta extremidade tem uma declividade -3 . Determine a declividade da reta origem.
Passo 1
O enunciado dá que duas retas se interceptam formando um ângulo de 135^\circ. Aquele que o problema chama de “reta extremidade” tem declividade (inclinação) igual a -3. Pede-se a declividade da “reta origem”.
Vou chamar:
m_e a declividade da reta extremidade; aqui m_e = -3 (pego do enunciado).
m_o a declividade da reta origem (é o que queremos achar).
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): se uma reta forma um ângulo \alpha com o eixo x, sua declividade é m=\tan\alpha. Se duas retas formam ângulos \alpha e \beta com o eixo x, o ângulo dirigido (orientado) de uma para a outra é \theta=\beta-\alpha. Pela fórmula da tangente da diferença de ângulos vale:
Substituindo \tan\alpha=m_o e \tan\beta=m_e obtemos a fórmula (orientada) das declividades:
\tan\theta=\frac{m_e-m_o}{1+m_om_e}.
Aqui:
\theta é o ângulo medido de forma orientada (pode ser negativo);
se o enunciado dá o ângulo sem indicar orientação e quer apenas o ângulo interno entre as retas, normalmente usa-se a versão com valor absoluto \big|\dfrac{m_e-m_o}{1+m_om_e}\big|=\tan\varphi onde \varphi\in[0,90^\circ].
É importante escolher entre a versão orientada (equação sem valor absoluto) ou a versão de ângulo agudo (com valor absoluto). No enunciado aparece "ângulo de 135^\circ para o qual a reta extremidade tem declividade -3"; o uso de “origem” e “extremidade” sugere que o ângulo 135^\circ é o ângulo dirigido (da reta origem até a reta extremidade), então usaremos a fórmula orientada sem valor absoluto.
Verificação e comentário didático: se em vez de usar a versão orientada tivesse sido usada a fórmula com valor absoluto para achar o ângulo agudo entre as retas (isto é, \big|\dfrac{m_e-m_o}{1+m_om_e}\big|=\tan45^\circ=1), obtém-se duas soluções possíveis m_o=2 e m_o=-\dfrac{1}{2}. Essas duas retas formam entre si um ângulo agudo de 45^\circ e, portanto, também formam o ângulo obtuso complementar de 180^\circ-45^\circ=135^\circ. A diferença é que, como o enunciado nomeia “reta origem” e “reta extremidade” e dá o ângulo 135^\circ (obtuso) neste sentido, a solução que satisfaz a equação orientada \tan 135^\circ=-1 é a única correta para o problema com orientação: m_o=-\dfrac{1}{2}.
Força aí — você já tem a técnica: lembrar da fórmula da tangente da diferença e prestar atenção ao sinal (orientado vs. valor absoluto) resolve esse tipo de questão.