Um triângulo equilátero
, de lado igual a
, é colocado de maneira que o vértice
está na origem, o vértice
está sobre o eixo
e à direita de
, estando o vértice
acima do eixo
. Determine as coordenadas do vértice
e
e a área do triângulo.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo equilátero
com lado igual a
. As posições são:
- o vértice
está na origem ; - o vértice
está sobre o eixo e à direita de ; - o vértice
está acima do eixo .
O que se pede:
- Determinar as coordenadas de
. - Determinar as coordenadas de
. - Determinar a área do triângulo.
Informações relevantes e úteis que tenho a usar:
- Todos os lados do triângulo têm comprimento
. - Pontos a igual distância de
e de são intersecção de duas circunferências centradas em e em , cada uma de raio . - A altura de um triângulo com base sobre o eixo
é dada pela coordenada do vértice acima do eixo.
Passo 2
Determinar a coordenada de
.
Como
está sobre o eixo
, sua coordenada tem a forma
. Além disso a distância de
a
é
. A distância do ponto
até a origem
é
. Como
fica à direita de
, tem-se
e
.
Portanto
logo
Passo 3
Determinar a coordenada de
pela intersecção das circunferências de raio
centradas em
e em
.
Escrevo as equações das duas circunferências (peguei que os centros são
e
e que o raio é
):
Circunferência centrada em
:
Circunferência centrada em
:
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
:
Desenvolvendo:
Logo
Agora uso
em
:
Como o vértice
está acima do eixo
, tomamos a raiz positiva:
Portanto
Passo 4
Verificação rápida (para ver que deu certo): calcular as distâncias
e
com a fórmula da distância entre pontos.
Distância
:
logo
.
Distância
:
logo
.
As distâncias coincidem com o lado
, consistente com triângulo equilátero.
Passo 5
Calcular a área do triângulo utilizando a base
e a altura (a coordenada
de
).
A base
tem comprimento
. A altura relativa a essa base é a ordenada de
, isto é
.
Área:
Observação: esta é a fórmula conhecida para a área de um triângulo equilátero de lado
:
.