Um triângulo equilátero \triangle O A B, de lado igual a a, é colocado de maneira que o vértice O está na origem, o vértice A está sobre o eixo O x e à direita de O, estando o vértice B acima do eixo O x. Determine as coordenadas do vértice A e B e a área do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero \triangle OAB com lado igual a \,a. As posições são:
  • o vértice O está na origem (0,0);
  • o vértice A está sobre o eixo Ox e à direita de O;
  • o vértice B está acima do eixo Ox.
O que se pede:
  1. Determinar as coordenadas de A.
  2. Determinar as coordenadas de B.
  3. Determinar a área do triângulo.
Informações relevantes e úteis que tenho a usar:
  • Todos os lados do triângulo têm comprimento \,a.
  • Pontos a igual distância de O e de A são intersecção de duas circunferências centradas em O e em A, cada uma de raio \,a.
  • A altura de um triângulo com base sobre o eixo Ox é dada pela coordenada y do vértice acima do eixo.

Passo 2

Determinar a coordenada de A.
Como A está sobre o eixo Ox, sua coordenada tem a forma (x_A,0). Além disso a distância de O a A é a. A distância do ponto (x_A,0) até a origem (0,0) é |x_A|. Como A fica à direita de O, tem-se x_A>0 e |x_A|=x_A.
Portanto
x_A = a,
logo
A=\left(a,0\right).

Passo 3

Determinar a coordenada de B pela intersecção das circunferências de raio a centradas em O e em A.
Escrevo as equações das duas circunferências (peguei que os centros são O=(0,0) e A=(a,0) e que o raio é a):
Circunferência centrada em O:
x^{2}+y^{2}=a^{2}.
Circunferência centrada em A:
(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}.
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar y^{2}:
(x-a)^{2}-x^{2}=0.
Desenvolvendo:
x^{2}-2ax+a^{2}-x^{2}=-2ax+a^{2}=0.
Logo
-2ax+a^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{a}{2}.
Agora uso x=\dfrac{a}{2} em x^{2}+y^{2}=a^{2}:
\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}=a^{2}
\frac{a^{2}}{4}+y^{2}=a^{2}
y^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{3a^{2}}{4}.
Como o vértice B está acima do eixo Ox, tomamos a raiz positiva:
y=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Portanto
B=\left(\frac{a}{2},\,\frac{a\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 4

Verificação rápida (para ver que deu certo): calcular as distâncias OB e AB com a fórmula da distância entre pontos.
Distância OB:
OB^{2}=\left(\frac{a}{2}-0\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}-0\right)^{2} =\frac{a^{2}}{4}+\frac{3a^{2}}{4}=a^{2},
logo OB=a.
Distância AB:
AB^{2}=\left(\frac{a}{2}-a\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}-0\right)^{2} =\left(-\frac{a}{2}\right)^{2}+\frac{3a^{2}}{4} =\frac{a^{2}}{4}+\frac{3a^{2}}{4}=a^{2},
logo AB=a.
As distâncias coincidem com o lado a, consistente com triângulo equilátero.

Passo 5

Calcular a área do triângulo utilizando a base OA e a altura (a coordenada y de B).
A base OA tem comprimento \,a. A altura relativa a essa base é a ordenada de B, isto é \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.
Área:
\text{Área}=\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura} =\frac{1}{2}\times a\times\frac{a\sqrt{3}}{2} =\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.Á
Observação: esta é a fórmula conhecida para a área de um triângulo equilátero de lado a: \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.

Resposta

A=\left(a,0\right)
B=\left(\dfrac{a}{2},\,\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)
\text{Área}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}Á

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