Uma reta de declividade -2 passa pelos pontos (2, 7) e pelos pontos A e B. Se a ordenada de A é 3 e a abscissa de B é 6 , determine a abscissa de A e a ordenada de B.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar direitinho):
  • A reta tem declividade -2.
  • A reta passa pelo ponto (2,7).
  • A reta também passa pelos pontos A e B.
  • A ordenada de A é 3. Ou seja, A=(x_A,\,3) para algum x_A.
  • A abscissa de B é 6. Ou seja, B=(6,\,y_B) para algum y_B.
O que o problema pede:
  • Determinar a abscissa de A, isto é encontrar x_A.
  • Determinar a ordenada de B, isto é encontrar y_B.

Passo 2

Lembra do que é declividade (inclinação) de uma reta? A declividade m é a razão entre variação da ordenada e variação da abscissa entre dois pontos:
m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Quando já se conhece um ponto (x_0,y_0) da reta e a declividade m, uma forma prática de escrever a equação da reta é a forma ponto-inclinação (point-slope):
y-y_0=m(x-x_0),
onde x_0 e y_0 são as coordenadas do ponto conhecido e m é a declividade. Nesta fórmula:
  • x e y são as coordenadas genéricas de qualquer ponto da reta,
  • x_0,y_0 é um ponto específico que se sabe que pertence à reta,
  • m é a declividade.

Passo 3

Vamos usar a forma ponto-inclinação com o ponto (2,7) (que o enunciado deu) e m=-2. Substituindo em
y-y_0=m(x-x_0)
temos
y-7=-2(x-2).
Agora vamos simplificar essa equação para uma forma mais direta (forma reduzida ou “slope-intercept”):
y-7=-2x+4
y=-2x+4+7
y=-2x+11.
Portanto a equação da reta é \;y=-2x+11\;. Aqui 11 é a ordenada na origem ( y-intercept).

Passo 4

Para achar a abscissa de A usamos que A=(x_A,\,3) e que A satisfaz a equação da reta. Então substituímos y=3 na equação
3=-2x_A+11.
Isolando x_A:
-2x_A=3-11=-8
x_A=\frac{-8}{-2}=4.
Assim a abscissa de A é \;x_A=4\;.

Passo 5

Para achar a ordenada de B usamos que B=(6,\,y_B) e que B também satisfaz a equação da reta. Substituímos x=6 na equação
y_B=-2\cdot 6+11.
Calculando:
y_B=-12+11=-1.
Assim a ordenada de B é \;y_B=-1\;.

Passo 6

Checagem rápida (para ficar mais seguro): a reta encontrada é y=-2x+11. Verificando os pontos:
  • Para A=(4,3): y=-2\cdot4+11=-8+11=3 — bate certinho.
  • Para B=(6,-1): y=-2\cdot6+11=-12+11=-1 — bate certinho.
    Também a declividade entre (2,7) e A é (3-7)/(4-2)=-4/2=-2, igual à declividade dada.

Resposta

x_A=4
y_B=-1

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