Duas superfícies condutoras cilíndricas de raios rho1=1 m e rho2=5 m são mantidas nos potenciais V1=-10 V e V2=30 V, respectivamente, determine as densidades superficiais de carga rhos 1 e rhos 2 nas duas superficies condutoras. Considere ar entre as superficies.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos duas superfícies cilíndricas concêntricas em ar, de raios
e , mantidas nos potenciais
e .
O conteúdo aqui é eletrostática (leis de Gauss e potencial em simetria cilíndrica).
Para resolver a gente vai precisar:
  1. Usar a lei de Gauss pra achar o campo entre os cilindros.
  2. Integrar esse campo pra relacionar diferença de potencial com a densidade de carga linear .
  3. Relacionar com as densidades de carga superficial e .

Passo 2

Teoria básica: em simetria cilíndrica, se a carga linear no cilindro interno é oint Ecdot dA = Qrm enclvarepsilon0 Longrightarrow E(r),(2pi r L)=lambda Lvarepsilon0 ;;Rightarrow;; E(r)=lambda2pivarepsilon0,r , então, pra , a lei de Gauss dá
Aqui é um comprimento qualquer do cilindro (cai no final).

Passo 3

Agora vamos ao potencial:
V1 - V2 ;=; -integralrho2^rho1 E(r),dr =;- integralrho2^rho1lambda2pivarepsilon0,r,dr =;-lambda2pivarepsilon0l[ln rr]rho2^rho1 =;-lambda2pivarepsilon0ln!rho1rho2
Como V1 - V2 = -10 - 30 = -40; V e -40 = -lambda2pivarepsilon0ln!15 ;;Longrightarrow;; 40 = lambda2pivarepsilon0ln 5 ;;Longrightarrow;; lambda = 40cdot 2pivarepsilon0ln 5 = 80pivarepsilon0ln 5 ,
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Passo 4

Agora a densidade superficial numa casca cilíndrica é
sigma1 = lambda2pi,rho1 = 12picdot1;80pivarepsilon0ln5 = 40,varepsilon0ln5 .
  • No cilindro interno ( sigma2 = -,lambda2pi,rho2 = -,12picdot5;80pivarepsilon0ln5 = -,8,varepsilon0ln5 ):
  • No cilindro externo ( ), a carga é de sinal oposto (indução), então

Resposta

sigma1 = 40,varepsilon0ln5 e sigma2 = -,8,varepsilon0ln5
Numericamente, usando sigma1 approx 2,2times10^-10,C/m^2, sigma2 approx -4,4times10^-11,C/m^2 :

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